Hva er derivatet av x ^ n?

For funksjonen #f (x) = x ^ n #, n skal ikke lik 0, av grunner som vil bli tydelige. n bør også være et heltall eller et rasjonelt tall (dvs. en brøkdel).

Regelen er:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Med andre ord, låner vi kraften til x og gjør den til derivatets koeffisient, og trekker deretter 1 fra strømmen.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Som nevnt er det spesielle tilfellet hvor n = 0. Dette betyr at

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Vi kan bruke vår regel og teknisk sett få det riktige svaret:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Men senere på sporet vil vi komme inn i komplikasjoner når vi prøver å bruke invers av denne regelen.

Svar:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Nedenfor er bevisene for hvert tall, men bare beviset for alle heltall bruker grunnleggende ferdigheter i definisjonen av derivater. Beviset for alle rasjonaler bruker kjedestyret og for irrasjonelle bruk implisitt differensiering.

Forklaring:

Når det er sagt, viser jeg dem alle her, så du kan forstå prosessen. Vær forsiktig med det #vil# være ganske lang.

Fra #y = x ^ (n) #, hvis #n = 0 # vi har #y = 1 # og derivatet av en konstant er altså null.

Hvis # N # er noe annet positivt heltall vi kan kaste den i derivatformelen og bruke binomialteorem til å løse rotet.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

# x = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Hvor # K_i # er riktig konstant

# y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Deler det # H #

# y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Vi kan ta ut første sikt fra summen

(i-2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) # x = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_

Med grensen går alt annet i summen til null. beregning # K_1 # vi ser at den er lik # N #, så

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Til # N # det er negative heltall det er litt mer komplisert. Vet det # x ^ -n = 1 / x ^ b #, slik at #b = -n # og er derfor positiv.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

# x = lim_ (h rarr 0) 1 / h (x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

# x = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

(i-1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Ta ut første semester

(i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Ta grensen, Hvor # K_1 = b #, setter det tilbake til # N #

(b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (-b-1) = nx ^ (n-1) #

For rationals må vi bruke kjedestyringen. Dvs.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Så, å vite det # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # og antar #n = 1 / b # vi har

# (x ^ n) ^ b = x #

Hvis # B # er selv, svaret er teknisk # | X | # men dette er nær nok til våre formål

Så, bruk kjedestyrken vi har

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1)

Og sist men ikke minst, ved hjelp av implisitt differensiering kan vi bevise for alle ekte tall, inkludert irrasjonelle.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #