Hva er kvadratroten på 82?

Svar:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Forklaring:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # til #n -> oo #

S er nummeret som du forproduserer sin sqaure root. I dette tilfellet # S = 82 #

Heres hva dette betyr og hvordan det brukes:

Først, ta en gjetning, hva kan kvadratroten på 82 være?

kvadratroten på 81 er 9, så det må være sligthly høyere enn 9 riktig?

Vårt gjetning vil være #x_ "0" #, la oss si 9,2, #x_ "0" = 9.2 #

Sett inn 9.2 som "x" i formelen vil gi oss #x_ "0 + 1" = X_ "1" #

Dette blir det neste tallet vi legger inn i ligningen. Dette er fordi vi startet med et gjetning på 9,2 = #x_ "0" #, dette ga oss et nummer #x_ "1" #, å sette inn dette nummeret vil gi oss #x_ "2" #, som vil gi oss #x_ "3" # og så videre, gir oss alltid det neste nummeret når vi legger inn forrige. Høyre side av ligningen angitt med "#->#"betyr at når" n "blir større og større, kommer tallet også nærmere og nærmere kvadratroten til S, i dette tilfellet 82.

La oss si at vi gjorde samme beregning 100 ganger! Da ville vi ha #x_ "100" #. Dette nummeret vil være svært nær kvadratroten til S.

Nok å snakke, la oss gjøre noen faktiske beregninger!

Vi starter med vårt gjetning #x_ "0" = 9.2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~ ~ 9,05652 #

Gjør det samme med det nye nummeret: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

La oss gjøre det en siste gang: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Det betyr # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

Og der har du det!

Beklager hvis alle mine snakker var irriterende. Jeg prøvde å forklare det i dybden og på en enkel måte, noe som alltid er fint hvis du ikke er veldig kjent med et bestemt felt i matematikk. Jeg ser ikke hvorfor noen mennesker må være så posh når de forklarer matematikk:)

Svar:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9,0553851381374 #

Forklaring:

Den primære faktorisering av #82# er:

#82 = 2*41#

Siden det ikke er noen firkantede faktorer, #sqrt (82) # kan ikke forenkles. Det er et irrasjonelt tall litt større enn #9#.

Vær imidlertid oppmerksom på det #82=81+1 = 9^2+1#.

Siden dette er av skjemaet # N ^ 2 + 1 #, kvadratroten har en veldig vanlig form som en fortsatt brøkdel:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))))

Mer generelt:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))))

Mer generelt fortsatt:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

I alle fall kan vi bruke den fortsatte fraksjonen for å få rasjonelle tilnærminger til #sqrt (82) # ved avkorting.

For eksempel:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~ ~ 9.05538513974 #

En kalkulator forteller meg at:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Så du kan se at våre tilnærminger er nøyaktige til omtrent like mange signifikante sifre som totalt antall sifre i kvoten.