Hva er domenet og rekkeviddet av f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Svar:

Domene: hele den virkelige linjen

Område: #-0.0757,0.826#

Forklaring:

Dette spørsmålet kan tolkes på to måter. Enten forventer vi bare å håndtere den virkelige linjen # RR #, ellers også med resten av det komplekse flyet # CC #. Bruken av # X # som en variabel innebærer at vi bare har den reelle linjen, men det er en interessant forskjell mellom de to sakene som jeg vil merke.

Domenet til # F # er hele tallet sett vurdert minus noen poeng som gjør at funksjonen blåses opp til uendelig. Dette skjer når nevnen # X ^ 2 + 4 = 0 #, dvs. når # X ^ 2 = -4 #. Denne ligningen har ingen reelle løsninger, så hvis vi jobber på den virkelige linjen, er domenet hele intervallet # (- oo, + oo) #. Hvis vi vurderer de uendelige grensene for funksjonen ved å sammenligne ledende termer i teller og nevner, ser vi at i begge uendighetene har det en tendens til null, og så kan vi, hvis vi ønsker det, legge til disse i det intervallet for å lukke det: # - oo, + oo #.

Ligningen # X ^ 2 = -4 # har imidlertid to komplekse løsninger, #X = + - 2i #. Hvis vi vurderer hele komplekset, er domenet hele flyet minus disse to punktene: # CC # # {+ - 2i} #. Som med reals, kan vi legge til i uendelig på samme måte hvis vi ønsker det.

For å bestemme rekkevidden av # F # Vi må oppdage sine maksimums- og minimumsverdier over sitt domene. Vi vil bare snakke i form av reals nå, for å bestemme en analog til disse over komplekse flyet er generelt en annen type problem som krever forskjellige matematiske verktøy.

Ta det første derivatet via kvotientregelen:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funksjonen # F # når enten en ekstrem eller et bøyningspunkt når #f '(x) = 0 #, dvs. når # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Vi løser dette ved den kvadratiske formelen:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Så funksjonen har to slike poeng.

Vi karakteriserer disse punktene ved å undersøke deres verdier på det andre derivatet av # F #, som vi tar, igjen via kvotientregelen:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4 x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4 x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Vi vet fra vår første avledede rotberegning at andre termen i telleren er null for disse to punktene, da innstillingen som null er ligningen vi nettopp løst for å finne inntastingsnumrene.

Så, merke til det # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Ved å bestemme tegnet på dette uttrykket spør vi om # 26> 6sqrt (13) #. Square begge sider for å sammenligne: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Så # 26-6sqrt (13) # er positiv (og # 26 + 6sqrt (13) # enda mer).

Så tegnet av hele uttrykket kommer ned til #bar (+) # foran det, noe som betyr at # X = -3-sqrt (13) # har #f '' (x)> 0 # (og er derfor et funksjonsminimum) og # X = -3 + sqrt (13) # har #f '' (x) <0 # (og er derfor en maksimal funksjon). Etter å ha notert at funksjonen har en tendens til null på uendelighetene, forstår vi nå formen på funksjonen fullt ut.

Så nå for å oppnå rekkevidden må vi beregne verdiene av funksjonen på minimum og maksimum poeng # X = -3 + -sqrt (13) #

Husk det #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, og så

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Så over den virkelige linjen # RR # funksjonen #f (x) # tar verdier i området # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, som hvis vi vurderer numerisk, kommer til #-0.0757,0.826#, til tre betydelige tall, oppnådd på # X # verdier #-6.61# og #0.606# (3 s.f.)

Plott grafen av funksjonen som en sunnhetskontroll:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Svar:

Domene: #x i RR #

Område: #f (x) i -0.075693909, + 0.825693909 farge (hvit) ("xxx") # (omtrent)

Forklaring:

gitt

#COLOR (hvit) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domene

De domene er alle verdier av # X # for hvilken #f (x) # er definert.

For enhver funksjon uttrykt som et polynom dividert med et polynom, defineres funksjonen for alle verdier av # X # hvor divisorpolynomet ikke er lik null. Siden # X ^ 2> = 0 # for alle verdier av # X #, # X ^ 2 + 4> 0 # for alle verdier av # X #; det er # ganger! = 0 # for alle verdier av # X #; funksjonen er definert for alle ekte (# RR #) verdier av # X #.

Område

De område er litt mer interessant å utvikle.

Vi merker at hvis en kontinuerlig funksjon har grenser, er derivatet av funksjonen ved punktene som resulterer i grensene, lik null.

Selv om noen av disse trinnene kan være trivielle, vil vi jobbe gjennom denne prosessen fra ganske grunnleggende prinsipper for derivater.

1 Eksponentregel for derivater

Hvis #f (x) = x ^ n # deretter # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Sumregel for derivater

Hvis #f (x) = r (x) + s (x) # deretter # (df (x)) / (dx) = (dr (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx)

3 Produktregel for derivater

Hvis #f (x) = g (x) * h (x) # deretter # (df (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (dh (x)) / (dx)

4 Kjederegel for derivater

Hvis #f (x) = p (q (x)) # deretter # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

For den oppgitte funksjonen #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

vi merker at dette kan skrives som #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Ved 3 vet vi

#color (hvit) ("XXX") farge (rød) ((df (x)) / (dx)) = farge (kalk) ((d (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + farge (blå) ((x + 3)) * farge (magenta) ((d (x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Etter 1 har vi

# (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 x x 0)) / (dx)

og ved 2

#COLOR (hvit) ("XXX"), farge (kalk) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = farge (kalk) (1) #

Etter 4 har vi

#color (hvit) ("XXX") farge (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

og etter 1 og 2

#color (hvit) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

eller, forenklet:

#COLOR (hvit) ("XXXXXXXX") = farge (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

gi oss

#farge (hvit) ("XXX") farge (rød) ((df (x)) / (dx)) = farge (grønn) 1 * farge (blå) ((x + 4) ^ (- 1)) + farge (blå) (x + 3)) * farge (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

som kan forenkles som

#color (hvit) ("XXX") farge (rød) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Som nevnt (vei tilbake) betyr dette at grenseverdiene vil oppstå når

#COLOR (hvit) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (hvit) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

så bruker du den kvadratiske formelen (se opp, Socratic klager allerede på lengden på dette svaret)

når

#COLOR (hvit) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

I stedet for å forlenge smerten, vil vi bare plukke disse verdiene inn i vår kalkulator (eller regneark, slik jeg gjør det) for å få grensene:

#COLOR (hvit) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

og

#COLOR (hvit) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0,825693909 #

Svar:

En enklere måte å finne serien på. Domenet er #x i RR #. Utvalget er #y i -0.076, 0.826 #

Forklaring:

Domenet er #x i RR # som

#AA x i RR #, nevneren # X ^ 2 + 4> 0 #

La # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kryss multiplere

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# Yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Dette er en kvadratisk ligning i # X #

Det finnes løsninger hvis diskriminanten #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Derfor, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Løsningene av denne ulikheten er

# i (12-sqrt ((-12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), (-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * 1) * 16)) / (32) #

#y i (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y i -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}