Hvordan konverterer du r = 1 / (4 - costheta) til kartesisk form?

Svar:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Forklaring:

Hei, Socratic: Er det virkelig nødvendig å fortelle oss dette ble spurt 9 minutter siden? Jeg liker ikke å bli løyet til. Fortell oss det ble spurt for to år siden, og ingen har klart å gjøre det ennå. Også hva skjer med de mistenkelig identiske uttrykkene som blir spurt fra flere steder? For ikke å nevne Santa Cruz, USA? Det er nesten sikkert mer enn en, selv om jeg hører den i California i finhet. Troverdighet og omdømme er viktig, spesielt i et lekserområde. Ikke villedet folk. Slutt rant.

Ved konvertering av ligninger fra polare til rektangulære koordinater blir den brute kraften rektangulær til polar substitusjon

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

er sjelden den beste tilnærmingen. (Jeg er bevisst å indikere den fire kvadranten inverse tangent her, men la oss ikke bli viderekoblet.)

Ideelt sett vil vi bruke polar til rektangulære substitusjoner, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, la oss se på spørsmålet.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Disse polære ligningene tillater generelt negativ # R #, men her er vi sikre på # R # er alltid positiv.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Disse tror jeg er ellipser, noe som egentlig ikke betyr noe, men gir oss en ide om hva vi håper den rektangulære formen skal se ut. Vi ønsker å sikte på noe uten firkantede røtter eller arktangenter # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # har firkantede røtter, men #rcos theta = x # gjør det ikke, så vi utvider.

# 4r - rcos theta = 1 #

Nå erstatter vi bare; Vi gjør det i trinn.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

La oss firkant nå. Vi vet #R> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Dette er en pen sirkulær utseende ellipse. (En mindre konstant enn #4# i originalen ville gi en mer eksentrisk ellipse.) Vi kunne fullføre torget for å sette det i standardform, men la oss forlate det her.