Hvorfor er kvadratroten av 5 et irrasjonelt tall?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Her er en skisse av et bevis ved motsetning:

Anta #sqrt (5) = p / q # for noen positive heltall # P # og # Q #.

Uten tap av generalitet kan vi antage det #p, q # er de minste slike tall.

Så per definisjon:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multipliser begge ender med # Q ^ 2 # å få:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Så # P ^ 2 # er delelig med #5#.

Så siden #5# er førsteklasses, # P # må deles av #5# også.

Så #p = 5m # for noen positive heltall # M #.

Så vi har:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Del begge ender med #5# å få:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Del begge ender med # M ^ 2 # å få:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Så #sqrt (5) = q / m #

Nå #p> q> m #, så #q, m # er et mindre par heltall hvis kvotient er #sqrt (5) #, i motsetning til vår hypotese.

Så vår hypotese at #sqrt (5) # kan representeres av # P / q # for noen heltall # P # og # Q # er falsk. Det er, #sqrt (5) # er ikke rasjonell. Det er, #sqrt (5) # er irrasjonell.