Hva er domenet og rekkeviddet av f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Svar:

Domenet er # RR # (alle reelle tall) og rekkevidden er # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(alle ekte tall mellom og inkludert # (5-sqrt (61)) / 72 # og # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Forklaring:

I domenet begynner vi med alle reelle tall, og fjern deretter noe som vil tvinge oss til å ha kvadratroten til et negativt tall, eller en #0# i nevnen av en brøkdel.

Et øyeblikk vet vi det som # x ^ 2> = 0 # for alle ekte tall, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Dermed vil nevnen ikke være #0# for noen ekte tall # X #, som betyr at domenet inneholder alle reelle tall.

For området, den enkleste måten å finne ovenstående verdier innebærer noen grunnleggende kalkulator. Selv om det er lengre, er det også mulig å finne dem ved hjelp av algebra, men med metoden som er beskrevet nedenfor.

Starter med funksjonen #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # Vi ønsker å finne alle mulige verdier av #f (x) #. Dette tilsvarer å finne domenet til den inverse funksjonen # F ^ -1 (x) # (en funksjon med eiendommen # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Dessverre er den omvendte av #f (x) # i dette tilfellet er ikke en funksjon, da den returnerer 2 verdier, er ideen likevel den samme. Vi starter med ligningen #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # og løse for # X # å finne omvendt. Deretter vil vi se på mulige verdier av # Y # å finne domenet til den inverse, og dermed rekkevidden til den opprinnelige funksjonen.

Løsning for # X #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

behandling # Y # som en konstant, bruker vi den kvadratiske formelen

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2- 4ac)) / (2a) #

for å oppnå

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Vi må nå finne domenet til det ovennevnte uttrykket (merk at det ikke er en funksjon på grunn av #+-#). Legg merke til at ved å dele med # Y # i den kvadratiske formelen mistet vi muligheten for # Y = 0 #, som tydelig er mulig i den opprinnelige ligningen (for #x = -5 #). Dermed vil vi se bort fra # Y # i nevneren av den inverse, og bare fokus på kvadratroten.

Som nevnt tidligere tillater vi ikke kvadratroten av en verdi mindre enn 0, og så har vi begrensningen

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Bruk av kvadratisk formel på # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # vi finner etter noen forenkling, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Til slutt kan vi fortelle det som # | Y | # vokser stor, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # vil være mindre enn #0#. Dermed vurderer vi bare intervallet mellom

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # og #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Så de tillatte verdiene for # Y #, og dermed rekkevidden for #f (x) #, er

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #