Hvordan integrerer du int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Svar:

Bruk en # U #-substitusjon for å få # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Forklaring:

Først merk at det fordi #3# er en konstant, kan vi trekke den ut av integralet for å forenkle:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Nå - og dette er den viktigste delen - legg merke til at avledet av #cot (t) # er # -Csc ^ 2 (t) #. Fordi vi har en funksjon og dens derivat til stede i samme integral, kan vi søke en # U # erstatning som dette:

# U = cot (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du = -csc ^ 2 (t) dt #

Vi kan konvertere den positive # Csc ^ 2 (t) # til en negativ som dette:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Og bruk substitusjonen:

# -3int (du) / u #

Vi vet det # int (du) / u = lnabs (u) + C #, så evaluering av integralet er gjort. Vi trenger bare å reversere erstatning (sett svaret tilbake i form av # T #) og legg til det #-3# til resultatet. Siden # U = cot (t) #, vi kan si:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

Og det er alt.

Svar:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Forklaring:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Husk at

#sin 2t = 2sint * kostnad #

Så

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Som vi kan finne i et bord med integraler

(for eksempel tabell med integraler som inneholder Csc (økse) i SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((øks) / 2) | #

vi får dette resultatet

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.