Hvordan integrerer du e ^ x * cos (x)?

Svar:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Forklaring:

Kommer til å bruke integrasjon av deler to ganger.

Til #u (x) og v (x) #, IBP er gitt av

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

La #u (x) = cos (x) betyr at du '(x) = -in (x) #

#v '(x) = e ^ x innebærer v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + farge (rød) (ikke ^ xsin (x) dx) #

Bruk nå IBP på den røde sikt.

#u (x) = sin (x) betyr at du '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x innebærer v (x) = e ^ x #

# x xcos (x) dx = e x xcos (x) + e x xin (x) - ikke x xcos (x) dx #

Samle integralene sammen:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + synd (x)) + C #

Derfor

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

La # I = inte ^ xcosxdx #

Vi bruker, Regler for integrasjon av deler #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Vi tar, # u = cosx, og, v = e ^ x #.

Derfor # (du) / dx = -sinx, og, intvdx = e ^ x #. Derfor, # I = e ^ xcosx + ikke ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = ikke ^ xsinxdx #.

Å finne # J #, vi bruker samme regel, men nå med # U = sinx #, &, # V = e ^ x #, vi får,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Sub.ing dette inn #JEG#, vi har, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, dvs., # 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, eller, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Nyt matematikk.!

Svar:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Forklaring:

La # I = e ^ xcosxdx, og, J = ikke ^ xsinxdx #

Bruke IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, med,

# u = cosx og, v = e ^ x #, vi får, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ XDX = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, dvs., # I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Igjen ved IBP, i # J # vi får, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, og dermed, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

løse #(1) & (2)# til #I og J #, vi har, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, og J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Nyt matematikk.!