Hva er projeksjonen av (i -2j + 3k) på (3i + 2j - 3k)?

Svar:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Forklaring:

For å gjøre det enklere å referere til dem, la oss ringe til den første vektoren #vec u # og den andre #vec v #. Vi ønsker prosjektet av #vec u # videre til #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec v * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Det er, i ord, projeksjon av vektor #vec u # på vektor #vec v # er prikkproduktet av de to vektorene, delt med kvadratet av lengden på #vec v # tider vektor #vec v #. Legg merke til at stykket inne i parentesene er en skalar som forteller oss hvor langt langs retningen av #vec v # projeksjonen når.

Først, la oss finne lengden på #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Men vær oppmerksom på at i uttrykket det vi egentlig vil ha er # || vec v || ^ 2 #, så hvis vi firkanter begge sider får vi bare #22#.

Nå trenger vi prikkproduktet av #vec u # og #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(for å finne punktproduktet vi multipliserer koeffisientene til #i, j og k # og legg til dem)

Nå har vi alt vi trenger:

#proj_vec v vec u = ((vec v * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j-3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #