En trekant har hjørner på (4, 1), (2, 4) og (0, 2) #. Hva er sluttpunktene til trekantenes vinkelrettede bisektorer?

Svar:

De enkle endepunktene er midtpunktene, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# og de vanskeligste er hvor bisektorer møter de andre sidene, inkludert #(8/3,4/3).#

Forklaring:

Ved de trekantede bisektorer av en trekant betyr vi antagelig den vinkelrette bisektoren på hver side av en trekant. Så det er tre vinkelrette bisektorer for hver trekant.

Hver vinkelrett bisektor er definert for å krysse den ene siden ved midtpunktet. Den vil også krysse en av de andre sidene. Vi antar at de to møtene er sluttpunktene.

Midpoints er

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Dette er trolig et bra sted å lære om parametriske representasjoner for linjer og linjesegmenter. # T # er en parameter som kan variere over reals (for en linje) eller fra #0# til #1# for et linjesegment.

La oss merke poengene #A (4,1) #, #B (2,4) # og #C (0,2) #. De tre sidene er:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t)

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Som # T # går fra null til en vi sporer ut hver side.

La oss jobbe en ut. # D # er midtpunktet til # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Retningsvektoren fra C til B er # B-C = (2,2) #. For vinkelrett, vi flip de to koeffisientene (ingen effekt her fordi de er begge #2#) og negere en. Så den parametriske ligningen for vinkelrett

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Forskjellig linje, annen parameter.) Vi kan se hvor dette møter hver side.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifiserer at den vinkelrette bisektoren møter BC ved midtpunktet.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

trekke, # t = 2-3 = - 1 #

Det er utenfor området, slik at den vinkelrette bisectoren av BC ikke rammer side AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

trekke, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Det gir det andre endepunktet som

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Dette blir lang, så jeg la de andre to endepunktene til deg.