Hva er rekkevidden av funksjonen f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Svar:

Utvalget er 1, # Oo #)

Forklaring:

Når jeg først ser på dette problemet, ville jeg fokusere på domenet. Å ha x under en kvadratrot resulterer vanligvis i et begrenset domene. Dette betyr at hvis poeng ikke eksisterer i domenet, må vi sørge for at vi ikke inkluderer dem i serien heller!

Domenet for #f (x) # er (-# Oo #, -#sqrt (1/2) #)# Uu #(#sqrt (1/2) #, # Oo #), som # 2x ^ 2 -1 # kan ikke være mindre enn #0# eller det resulterende nummeret vil være imaginært.

Nå må vi se på sluttferdighet for å se hvor funksjonen er på vei # Oo # og -# Oo # til # X #. Når vi ser på sluttferdighet, kan vi ignorere mindre detaljer som ikke påvirker funksjonens generelle form. Når du beskriver sluttadferd, er funksjonen #G (x) # brukes vanligvis.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

Og "plugge inn" negativ og positiv uendelighet

g (-# Oo #) = # 5 ^ | -oo | #

g (# -Oo #) = # Oo #

g (# Oo #) = # 5 ^ | oo | #

g (# Oo #) = # Oo #

#f (x) # hodene mot positiv uendelighet på begge måter

Nå må vi finne det minste som funksjonen er. Husk at #f (x) # er ikke kontinuerlig som vi demostrert i sitt begrensede domene.

Siden #f (x) # er en jevn funksjon (symmetrisk på y-aksen) og # Y # øker som størrelsen på # X # gjør det minste # Y # verdien vil bli funnet der # X # er nærmest 0. I vårt tilfelle vil det være -#sqrt (1/2) # eller #sqrt (1/2) # på grunn av det begrensede domenet. Lar plugge inn #sqrt (1/2) # for å finne minimum.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Så vil rekkevidden være 1, # Oo #)

Svar:

1, positiv uendelighet

Forklaring:

Når du graver denne funksjonen (jeg anbefaler Desmos hvis du ikke har det grafet), kan du se den laveste delen av funksjonen berører 1 på y-aksen, og fortsetter positivt til uendelig. En enkel måte å finne dette på uten graf er å se om du har noen begrensninger i ligningen. Siden det ikke er noen firkantede røtter med negative tall, vet vi at hvis vi setter eksponenten til 0, kan vi finne den lavest mulige x-verdien.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# X ^ 2 = 1/2 #

# X = sqrt (1/2) #

Nå som vi har Domain-begrensningen, kan vi bruke dette til den opprinnelige ligningen

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Nå har vi funnet ut at den laveste mulige y-verdien er 1, og det er ingen begrensning på hvor høy y-verdiene kan gå. Derfor er spekteret fra positiv 1 (inkluderende) til positiv uendelighet.