Hva er arealet av en like-sidig trekant hvis toppunkter ligger på en sirkel med radius 2?

Svar:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5,196 #

Forklaring:

Se figur nedenfor

Figuren representerer en like-sidig trekant innskrevet i en sirkel, hvor # S # står for trekantens sider, # H # står for høyden på trekanten, og # R # står for sirkelens radius.

Vi kan se at trekanter ABE, ACE og BCE er kongruenter, derfor kan vi si den vinkelen #E hat C D = (A hat C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Vi kan se i #triangle_ (CDE) # at

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = avbryt (2) * R * sqrt (3) / avbryt (2) # => # S = sqrt (3) * R #

I #triangle_ (ACD) # vi kan ikke se det

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # h = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # h = (3R) / 2 #

Fra formelen av trekantens område:

# S_triangle = (base * høyde) / 2 #

Vi får

# S_triangle = (s * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * avbryt (2 ^ 2)) / avbryt (4) = 3 * sqrt (3) #