Anta at det var grunnlag for og et bestemt antall dimensjoner for delrom W i RR ^ 4. Hvorfor er antall dimensjoner 2?

Svar:

4 dimensjoner minus 2 begrensninger = 2 dimensjoner

Forklaring:

3. og 4. koordinatene er de eneste uavhengige. De to første kan uttrykkes i forhold til de to siste.

Svar:

Dimensjonen av et underrom bestemmes av basisene, og ikke av dimensjonen av noen vektorplass er det et underrom av.

Forklaring:

Dimensjonen av en vektor plass er definert av antall vektorer i et grunnlag for det rommet (for uendelige dimensjonale mellomrom, er det definert av grunnlagets kardinalitet). Merk at denne definisjonen er konsekvent som vi kan bevise at ethvert grunnlag for en vektorplass vil ha det samme antall vektorer som noe annet grunnlag.

I tilfelle av # RR ^ n # vi vet det #dim (RR ^ n) = n # som

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

er grunnlag for # RR ^ n # og har # N # elementer.

I tilfelle av #W = s, t i RR # vi kan skrive inn noe element i # W # som #svec (u) + tvec (v) # hvor #vec (u) = (4,1,0,1) # og #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Fra dette har vi det # {vec (u), vec (v)} # er et spennende sett for # W #. Fordi #vec (u) # og #vec (v) # er tydeligvis ikke skalar multipler av hverandre (merk posisjonene til #0#s), det betyr det # {vec (u), vec (v)} # er et lineært uavhengig spanningssett for # W #, det er et grunnlag. Fordi # W # har grunnlag med #2# elementer, sier vi det #dim (W) = 2 #.

Legg merke til at dimensjonen av et vektorrom ikke er avhengig av om dens vektorer kan eksistere i andre vektorrom med større dimensjon. Det eneste forholdet er at hvis # W # er et underrom av # V # deretter #dim (W) <= dim (V) # og #dim (W) = dim (V) <=> W = V #