Hvordan finner du derivatet av tan (x - y) = x?

Svar:

# (DY) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Forklaring:

Jeg antar at du vil finne # (Dy) / (dx) #. For dette trenger vi først et uttrykk for # Y # i form av # X #. Vi merker at dette problemet har ulike løsninger, siden #tan (x) # er en periodisk funksjon, #tan (x-y) = x # vil ha flere løsninger. Men siden vi kjenner til tangentfunksjonens periode (# Pi #), kan vi gjøre følgende: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, hvor #tan ^ (- 1) # er den inverse funksjonen til tangenten som gir verdier mellom # -Pi / 2 # og # Pi / 2 # og faktoren # NPI # har blitt lagt til for å ta hensyn til periodiciteten til tangenten.

Dette gir oss # Y = x-tan ^ (- 1) x-NPI #, derfor # (DY) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, merk at faktoren # NPI # har forsvunnet. Nå må vi finne # D / (dx) tan ^ (- 1) x #. Dette er ganske vanskelig, men gjennomførbart ved hjelp av omvendt funksjonsteorien.

Innstilling # U = tan ^ (- 1) x #, vi har # X = tanu = sinu / COSU #, så # (Dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, ved hjelp av kvotientregelen og noen trigonometriske identiteter. Ved hjelp av inversfunksjonsteorien (som sier at hvis # (Dx) / (du) # er kontinuerlig og ikke-null, har vi # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), vi har # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #. Nå må vi uttrykke # cos ^ 2u # i form av x.

For å gjøre dette bruker vi noen trigonometri. Gitt en riktig trekant med sider # A, b, c # hvor # C # er hypotenuse og # A, b # koblet til riktig vinkel. Hvis # U # er vinkelen der side # C # krysser siden #en#, vi har # X = tanu = b / a #. Med symbolene # A, b, c # i ligningene angir vi lengden på disse kantene. # COSU = a / c # og ved hjelp av Pythagoras teorem finner vi # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Dette gir # COSU = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, så # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Siden # U = tan ^ (- 1) x #, vi kan erstatte dette inn i vår ligning for # (Dy) / (dx) # og finn # (DY) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.