Hvordan bruker du binomial-serien til å utvide sqrt (1 + x)?

Svar:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # med #x i CC #

Bruk generaliseringen av binomialformelen til komplekse tall.

Forklaring:

Det er en generalisering av binomialformelen til komplekse tall.

Den generelle binomialserieformelen ser ut til å være # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k # med # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (ifølge Wikipedia). La oss bruke det på ditt uttrykk.

Dette er en kraftserie så åpenbart, hvis vi vil ha sjanser for at dette ikke divergerer, må vi sette #absx <1 # og slik utvider du #sqrt (1 + x) # med binomial-serien.

Jeg kommer ikke til å demonstrere at formelen er sant, men det er ikke for vanskelig, du må bare se at den komplekse funksjonen er definert av # (1 + z) ^ r # er holomorphic på enhetsskiven, beregne alle derivater av det ved 0, og dette vil gi deg Taylor-formelen av funksjonen, noe som betyr at du kan utvikle den som en strømserie på enhetsskiven fordi #absz <1 #, dermed resultatet.