En trekant har hjørner på (5, 5), (9, 4) og (1, 8). Hva er radiusen til triangles innrammede sirkel?

Svar:

#r = {8} / { sqrt {17} + 4 sqrt {5} + 5} #

Forklaring:

Vi kaller hjørnerne vertikaler.

La # R # være radius av inkirkelen med incenter I. Den vinkelrette fra jeg til hver side er radiusen # R #. Det danner høyden til en trekant hvis base er en side. De tre trekanter sammen gjør den opprinnelige trangle, så dens område #mathcal {A} # er

# mathcal {A} = 1/2 r (a + b + c) #

Vi har

# a ^ 2 = (9-5) ^ 2 + (4-5) ^ 2 = 17 #

# b ^ 2 = (9-1) ^ 2 + (8-4) ^ 2 = 80 #

# c ^ 2 = (5-1) ^ 2 + (8-5) ^ 2 = 25 #

Området #mathcal {A} # av en trekant med sider # A, b, c # tilfredsstiller

# 16mathcal {A} ^ 2 = 4a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# 16 matematisk {A} ^ 2 = 4 (17) (80) - (25 - 17 - 80) ^ 2 = 256 #

#mathcal {A} = sqrt {256/16} = 4 #

#r = {2 mathcal {A}} / (a + b + c) #

#r = {8} / { sqrt {17} + sqrt {80} + sqrt {25}} #