To hjørner av en trekant har vinkler på (3 pi) / 8 og pi / 6. Hvis den ene siden av trekanten har en lengde på 1, hva er den lengste mulige omkretsen av trekanten?

Svar:

Den lengste mulige omkretsen er omtrentlig #4.8307#.

Forklaring:

Først finner vi den gjenværende vinkelen ved å bruke det faktum at en trekants vinkler legger til # Pi #:

Til #triangle ABC #:

La #angle A = (3pi) / 8 #

La #angle B = pi / 6 #

Deretter

#vinkel C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (hvit) (vinkel C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (hvit) (vinkel C) = (11pi) / 24 #

For en triangel er den korteste siden alltid motsatt den minste vinkelen. (Samme gjelder for lengste side og største vinkel.)

For å maksimere omkretsen, bør den ene kjente sidelengden være den minste. Så siden #angle B # er den minste (at # Pi / 6 #), vi setter # B = 1 #.

Nå kan vi bruke sinusloven til å beregne de resterende to sidene:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b ganger (sinA) / (sinB) #

#COLOR (hvit) (=> a) = 1 * (sin ((3n) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (hvit) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

En lignende formel brukes til å vise # c ~~ 1.9829 #.

Legge til disse tre verdiene (av #en#, # B #, og # C #) sammen vil gi den lengste mulige perimeter for en trekant som den beskrevne:

# P = "" a "" + b + "" c #

#COLOR (hvit) P ~~ 1,8478 + 1 + 1,9829 #

#COLOR (hvit) P = 4,8307 #

(Siden dette er et geometrisk spørsmål, kan du bli bedt om å gi svaret i eksakt form, med radikaler. Dette er mulig, men litt kjedelig for skyld av et svar her, og derfor har jeg gitt svaret mitt som en omtrentlig desimalverdi.)

To hjørner av en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene siden av trekanten har en lengde på 12, hva er den lengste mulige omkretsen av trekanten?

Lengst mulig perimeter er 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Som to vinkler er (2pi) / 3 og pi / 4, er tredje vinkel pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. For lengste omkretsside av lengde 12, si en, må være motsatt minste vinkel pi / 12 og da bruker sinusformel vil andre to sider være 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin (2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Derfor er b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 og c = 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Derfor er lengst mulig omkrets 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941.

To hjørner av en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene siden av trekanten har en lengde på 4, hva er den lengste mulige omkretsen av trekanten?

P_max = 28.31 enheter Problemet gir deg to av de tre vinklene i en vilkårlig trekant. Siden summen av vinklene i en trekant må legge til 180 grader, eller pi radianer, kan vi finne den tredje vinkelen: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 La oss trekke trekanten: Problemet sier at en av sidene av trekanten har en lengde på 4, men det angir ikke hvilken side. Men i en gitt trekant er det sant at den minste siden vil være motsatt fra den minste vinkel. Hvis vi ønsker å maksimere omkretsen, bør vi gjøre siden med lengde

To hjørner av en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene siden av trekanten har en lengde på 19, hva er den lengste mulige omkretsen av trekanten?

Langest mulig perimeterfarge (grønn) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tre vinkler er (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 som de tre vinklene legger opp til pi ^ For å få lengste omkrets, side 19 bør svare til den minste vinkelen pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Langest mulig perimeterfarge (grønn) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842 )