To hjørner av en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene siden av trekanten har en lengde på 4, hva er den lengste mulige omkretsen av trekanten?

Svar:

# P_max = 28.31 # enheter

Forklaring:

Problemet gir deg to av de tre vinklene i en vilkårlig trekant. Siden summen av vinklene i en trekant må legge opp til 180 grader, eller # Pi # radianer, kan vi finne den tredje vinkelen:

# (2 pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI- (2 pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3n) / 12 #

# X = pi / 12 #

La oss trekke trekanten:

Problemet sier at en av sidene av trekanten har en lengde på 4, men det angir ikke hvilken side. Men i en gitt trekant er det sant at minste siden vil være motsatt fra den minste vinkelen.

Hvis vi ønsker å maksimere omkretsen, bør vi gjøre siden med lengde 4 motsatt fra den minste vinkel. Siden de andre to sidene vil være større enn 4, garanterer det at vi vil maksimere omkretsen. Derfor blir trekant:

Til slutt kan vi bruke Sines lov å finne lengden på de andre to sidene:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Plugging inn, får vi:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2 pi) / 3) / y #

Løsning for x og y får vi:

# x = 10,93 # og # Y = 13,38 #

Derfor er maksimal omkrets:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Merk: Siden problemet ikke angir lengdenhetene på trekanten, bruker du bare "enheter".