Hvordan beviser du arcsin x + arccos x = pi / 2?

Svar:

som vist

Forklaring:

La

# Arcsinx = theta #

deretter

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Svar:

Erklæringen er sant når de inverse trig-funksjonene refererer til hovedverdiene, men det krever mer forsiktig oppmerksomhet enn å vise det andre svaret.

Når de inverse trig-funksjonene regnes som multivalued, får vi et mer nyansert resultat, for eksempel

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # men #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Vi må trekke for å få # Pi / 2 #.

Forklaring:

Denne er vanskeligere enn det ser ut. Det andre svaret betaler ikke den rette respekt.

En generell konvensjon er å bruke småbrevet #arccos (x) # og #arcsin (x) # som multivalued uttrykk, som hver viser henholdsvis alle verdiene hvis cosinus eller sinus har en gitt verdi # X #.

Betydningen av summen av disse er virkelig alle mulige kombinasjoner, og de ville ikke alltid gi # Pi / 2. # De vil ikke engang alltid gi en av de coterminale vinklene # pi / 2 + 2pi k quad # heltall # K #, som vi nå skal vise.

La oss se hvordan det fungerer med multivalued inverse trig-funksjonene først. Husk generelt # cos x = cos a # har løsninger # x = pm a + 2pi k quad # heltall # K #.

# c = arccos x # egentlig betyr

#x = cos c #

#s = arcsin x # egentlig betyr

#x = sin s #

#y = s + c #

# X # spiller rollen som en ekte parameter som feier fra #-1# til #1#. Vi vil løse for # Y #, finn alle mulige verdier for # Y # som har en #x, s # og # C # som gjør disse samtidige ligninger #x = cos c, x = sin s, y = s + c # ekte.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Vi bruker vår generelle løsning om likestilling av kosinister.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # heltall # K #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Så vi får det mye mer nølende resultatet, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Det er tillatt å vende på skiltet # K. #)

La oss nå fokusere på hovedverdiene, som jeg skriver med store bokstaver:

Vise fram #text {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 #

Erklæringen er faktisk sant for de hovedverdier som er definert på vanlig måte.

Summen er bare definert (til vi blir ganske dype i komplekse tall) for # -1 le x le 1 # fordi de gyldige sines og cosines er i dette området.

Vi ser på hver side av ekvivalenten

# tekst {Arc} tekst {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) #

Vi tar cosinus fra begge sider.

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = synd (tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = x #

Så uten å bekymre deg for tegn eller hovedverdier, er vi sikre

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) #

Den vanskelige delen, den delen som fortjener respekt, er det neste trinnet:

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad # IKKE SIKKER ENDA

Vi må tread forsiktig. La oss ta det positive og negative # X # hver for seg.

Først # 0 le x le 1 #. Det betyr at hovedverdiene for begge inverse trig-funksjonene er i den første kvadranten, mellom #0# og # Pi / 2. # Begrenset til den første kvadranten, betyr like cosines samme vinkler, så vi konkluderer med #x ge 0, #

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Nå # -1 le x <0. # Hovedverdien til det inverse tegnet er i fjerde kvadrant, og for #x <0 # Vi definerer vanligvis hovedverdien i serien

# - pi / 2 le tekst {Arc} tekst {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) le pi #

Hovedverdien for den negative inverse cosinus er den andre kvadranten, # pi / 2 <tekst {Arc} tekst {cos} (x) le pi #

Så vi har to vinkler i den andre kvadranten hvis cosinusene er like, og vi kan konkludere at vinklene er like. Til #x <0 #, #text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Så uansett, # tekst {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #