Hvordan finner du polynomialfunksjonen med røttene 1, 7 og -3 av multiplikasjon 2?

Svar:

#f (x) = 2 (x-1) (X-7) (x + 3) = 2x ^ disse 3-5 ganger ^ 2-17x + 21 #

Forklaring:

Hvis røttene er 1,7, -3 så vil den polynomiske funksjonen være i form av form:

#f (x) = A (x-1) (X-7) (x + 3) #

Gjenta røttene for å få den nødvendige mangfoldet:

#f (x) = (x-1) (X-7) (x + 3) (x-1) (X-7) (x + 3) #

Svar:

Det enkleste polynom med røtter #1#, #7# og #-3#, hver med mangfold #2# er:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = X ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

Forklaring:

Ethvert polynom med disse røttene med minst disse multiplikasjonene vil være et flertall av #f (x) #, hvor…

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (X ^ ^ disse 3-5 ganger 2-17x + 21) ^ 2 #

# = X ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… i hvert fall tror jeg at jeg har multiplisert dette riktig.

La oss sjekke #f (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

Polynomien av grad 4, P (x) har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 3 og røtter av multiplikasjon 1 ved x = 0 og x = -3. Det går gjennom punktet (5.112). Hvordan finner du en formel for P (x)?

Et polynom av grad 4 vil ha roten form: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Erstatt i verdiene for røttene og bruk deretter poenget for å finne verdien av k. Bytt i verdiene for røttene: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Bruk punktet (5,112) for å finne verdien av k: 112 = k (5-3) (5-3) (5 - (-3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / (5) (2) 2) (8)) k = 7/10 Roten fra polynomet er: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (-3))

Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -3, hvordan finner du en mulig formel for P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Hver rot samsvarer med en lineær faktor, slik at vi kan skrive: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Enhver polynom med disse nullene og minst disse multipliseringene vil være en flere (skalar eller polynom) av denne P (x) fotnoten Strengt sett er en verdi på x som resulterer i P (x) = 0 kalt en rot av P (x) = 0 eller en null på P (x). Så spørsmålet burde virkelig ha snakket om nullene av P (x) eller om røttene til P (x) = 0.

Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1 Finn en mulig formel for P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 1, vet vi at P (x) har en faktor (x-1) ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 0, vet vi at P (x) har en faktor x ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1, vet vi at P (x) har en faktor x + 1 Vi er gitt at P (x) er et polynom av grad 5, og vi har derfor identifisert alle fem røttene, og faktorer, slik at vi kan skrive P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Og vi kan derfor skrive P (x) = Axe ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vi vet også at ledende koeffisient er 1 => A = 1 P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)