Ligningen x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 har en positiv rot. Bekreft ved beregning at denne roten ligger mellom 1 og 2.Kan noen løse dette spørsmålet?

EN rot av en ligning er en verdi for variabelen (i dette tilfellet # X #) som gjør likningen sant. Med andre ord, hvis vi skulle løse for # X #, da ville den løste verdien være røttene.

Vanligvis når vi snakker om røtter, er det med en funksjon av # X #, som # Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, og å finne røttene betyr å løse for # X # når # Y # er 0.

Hvis denne funksjonen har en rot mellom 1 og 2, så til noen # X #-verdi mellom # X = 1 # og # X = 2 #, vil ligningen ligne 0. Hvilket betyr også at ligningen på et tidspunkt på den ene siden av denne roten er positiv, og på et tidspunkt på den andre siden er det negativt.

Siden vi prøver å vise at det er en rot mellom 1 og 2, hvis vi kan vise at likningen bytter tegn mellom disse to verdiene, blir vi ferdig.

Hva er # Y # når # X = 1 #?

# Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#COLOR (hvit) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#COLOR (hvit) y = 1-3 + 1-4 #

#COLOR (hvit) y = -5 #

#COLOR (hvit) y <0 #

Nå, hva er det # Y # når # X = 2 #?

# Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#COLOR (hvit) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#COLOR (hvit) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#COLOR (hvit) y = 32-24 #

#COLOR (hvit) y = 8 #

#COLOR (hvit) y> 0 #

Vi har vist det # Y # er negativ når # X = 1 #, og # Y # er positiv når # X = 2 #. Så på et tidspunkt mellom 1 og 2 der må en verdi for # X # som gjør # Y # lik 0.

Vi har nettopp brukt Intermediate Value Theorem eller (IVT). Hvis du ikke er sikker på hva det er, er en rask beskrivelse det hvis en kontinuerlig funksjon er mindre enn # C # når # x = a # og er større enn # C # når # X = b #, så på et tidspunkt mellom #en# og # B #, må funksjonen være lik # C. #

Merk:

IVT er kun aktuelt for kontinuerlige funksjoner (eller funksjoner som er kontinuerlige i intervallet av interesse). Heldigvis, alle polynomene i # X # er kontinuerlig overalt, så det er derfor vi kan bruke IVT her.