Hva er det andre derivatet av y = x * sqrt (16-x ^ 2)?

Svar:

# y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2-24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) #

Forklaring:

Start med å beregne den første derivaten av funksjonen din #y = x * sqrt (16-x ^ 2) # ved å bruke produktregelen.

Dette vil få deg

# d / dx (y) = d / dx (x) * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) #

Du kan skille mellom # d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) # ved å bruke kjederegelen for #sqrt (u) #, med #u = 16 -x ^ 2 #.

# d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) #

# d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) #

# 1 / farge (rød) (avbryt (farge (svart) (2))) * 1 / sqrt (16-x ^ 2) *) (avbryte (farge (sort) (2))) x) #

# d / dx (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / sqrt (16-x ^ 2) #

Sett dette inn igjen i beregningen av #Y ^ '#.

# y ^ '= 1 * sqrt (16-x ^ 2) + x * (-x / sqrt (16-x ^ 2)) #

# y ^ '= 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (16-x ^ 2 - x ^ 2) #

# y ^ '= (2 (8-x ^ 2)) / sqrt (16-x ^ 2) #

Å finne #Y ^ ('') # du må beregne # D / dx (y ^ ') # ved å bruke kvotientregelen

# d / dx (y ^ ') = 2 * (d / dx (8-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2) - (8-x ^ 2) * d / dx -x ^ 2))) / (sqrt (16-x ^ 2)) ^ 2 #

# x ^ ('') = 2 * (-2x * sqrt (16-x ^ 2) - (8-x ^ 2) * (-x / sqrt (16-x ^ 2)) / ^ 2) #

# x ^ ('') = 2 * (1 / sqrt (16-x ^ 2) * -2x * (16-x ^ 2) + x * (8-x ^ 2)) ^ 2) #

(x-x ^ 2) * (16-x ^ 2)) * (-32x + 2x ^ 3 + 8x-x ^ 3) #

Endelig har du

# x ^ ('') = farge (grønn) ((x * x ^ 2-24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)))

Hva er det første derivatet og det andre derivatet av 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (-2/3) (- x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1/3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4/3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1/3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)"

Hva er det andre derivatet av x / (x-1) og det første derivatet av 2 / x?

Spørsmål 1 Hvis f (x) = (g (x)) / (h (x)) så av kvotientregelen f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h (x)) / ((g (x)) ^ 2) Så hvis f (x) = x / (x-1) så er det første derivatet f '(x) = ((1) (x-1) (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) og det andre derivatet er f '' (x) = 2x ^ -3 Spørsmål 2 Hvis f (x) = 2 / x Dette kan skrives om som f (x) = 2x ^ -1 og bruker standardprosedyrer for å ta derivatet f '(x) = -2x ^ -2 eller, hvis du foretrekker f' (x) = - 2 / x ^ 2

Hva er det første derivatet og det andre derivatet av x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' (x) = 12x ^ 2 for å finne det første derivatet må vi bare bruke tre regler: 1. Strømregel d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Konstant regel d / dx (c) = 0 (hvor c er et heltall og ikke en variabel) 3. Sum og differanse regelen d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] det første derivatet resulterer i: 4x ^ 3-0 som forenkler til 4x ^ 3 for å finne det andre derivatet, må vi avlede det første derivatet ved å igjen bruke kraftregelen som resulterer i : 12x ^ 3 du kan fortsette hvis du vil: tredje derivat = 36x ^ 2 fjerde derivat = 72x fe