For f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) hva er likningen til tangentlinjen ved x = pi?

Svar:

# Y = 1.8276x-3.7 #

Forklaring:

Du må finne derivatet:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

I dette tilfellet er derivatet av den trigonometriske funksjonen faktisk en kombinasjon av 3 elementære funksjoner. Disse er:

# Sinx #

# X ^ n #

# C * x #

Måten dette løses på, er som følger:

# (Sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = Sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Derfor:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Utledningen av tangentligningen:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# Y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Bytte følgende verdier:

# X_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1,8276 #

Derfor blir ligningen:

# Y = 1.8276x-1,8276 * π + 2,0405 #

# Y = 1.8276x-3.7 #

I grafen nedenfor kan du se det på # X = π = 3.14 # tangentet øker faktisk og vil skjære y'y aksen på #Y <0 #

graf {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0,373, 5,176}