Hva er det absolutte ekstreme av f (x) = x / e ^ (x ^ 2) i [1, oo]?

Svar:

# (1, 1 / e) # er et absolutt maksimum i det angitte domenet

Det er ikke noe minimum

Forklaring:

Derivatet er gitt av

(x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

#f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

Kritiske verdier vil oppstå når derivatet er lik #0# eller er udefinert. Derivatet vil aldri bli udefinert (fordi # E ^ (x ^ 2) # og # X # er kontinuerlige funksjoner og # e ^ (x ^ 2)! = 0 # for enhver verdi av # X #.

Så hvis #f '(x) = 0 #:

# 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) #

Som nevnt ovenfor # E ^ (x ^ 2) # vil aldri like #0#, så våre eneste to kritiske tall vil oppstå ved løsningen av

# 0 = 1 -2x ^ 2 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

#x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) #

Men ingen av disse ligger i vårt givne domene. Derfor, #x = 1 # kommer til å være et maksimum (fordi #f (x) # konvergerer til #0# som #X -> + oo) #.

Det blir ikke noe minimum

Forhåpentligvis hjelper dette!

Hva er det absolutte ekstreme av f (x) = 2x ^ 2 - 8x + 6 i [0,4]?

6 og -2 Absolutt extrema (min og maksimum verdier av en funksjon over et intervall) kan bli funnet ved å evaluere intervallets endepunkter og poengene der derivatet av funksjonen er 0. Vi begynner med å evaluere endepoengene til intervallet; i vårt tilfelle betyr det å finne f (0) og f (4): f (0) = 2 (0) ^ 2-8 (0) + 6 = 6f (4) = 2 (4) ^ 2-8 (4) + 6 = 6 Legg merke til at f (0) = f (4) = 6. Deretter finner du derivatet: f '(x) = 4x-8-> bruker kraftregelen og finn de kritiske punktene; dvs. de verdiene som f '(x) = 0: 0 = 4x-8 x = 2 Vurder de kritiske punktene (vi har bare en, x = 2): f (2) = 2

Hva er det absolutte ekstreme av f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) i [oo, oo]?

Ved x = -1 minimum og ved x = 3 er maksimumet. F (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) har stasjonære poeng preget av (df) / (dx) = - (x-3) (1 + x)) / x + x ^ 2) ^ 2 = 0 slik at de er ved x = -1 og x = 3 Deres karakterisering gjøres for å analysere signalet av (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x (x- 3) x-9) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 på disse punktene. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> relativ minimum (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> relativ maksimum. Vedlagt funksjonsplottet.

Hva er det absolutte ekstreme av f (x) = x / (x ^ 2 + 1) i (0,2)?

Det første derivatet er df (x) / dx = (x '* (x ^ 2 + 1) -x * (x ^ 2 +1)') / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (1 + x ^ 2) ^ 2 Derav nullstiller det første derivatet ved x = + - 1, men fordi x ε (0,2) Vi har det ved x = 1 vi har et maksimum som er f (1) = 1/2