Hva er orthocenteret til en trekant med hjørner på (9, 5), (3, 8) og (5, 6)?

Svar:

Trinn: (1) Finn bakkene på 2 sider, (2) Finn lenkene til linjene vinkelrett på disse sidene, (3) Finn ligningene i linjene med de bakkene som går gjennom de motsatte hjørner, (4) Finn punkt der disse linjene krysser, som er orthocenteret, i dette tilfellet #(6.67, 2.67)#.

Forklaring:

For å finne orthocenteret i en trekant finner vi bakkene (gradienter) på to sider, deretter ligningene i linjene vinkelrett på disse sidene.

Vi kan bruke disse bakkene pluss koordinatene til punktet overfor den relevante siden for å finne ligningene i linjene vinkelrett på sidene som går gjennom motsatt vinkel: disse kalles "høyder" for sidene.

Hvor høyder for to av sidene krysser er orthocenteret (høyden for den tredje siden vil også passere gjennom dette punktet).

La oss merke våre poeng for å gjøre det lettere å referere til dem:

Punkt A = #(9, 5)#

Punkt B = #(3, 8)#

Punkt C = #(5, 6)#

For å finne bakken, bruk formelen:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Vi vil ikke ha disse bakkene, men skråningene av linjene vinkelrett (i rette vinkler) til dem. Linjen vinkelrett på en linje med skråning # M # har skråning # -1 / m #, så linjen vinkelrett på # AB # har skråning #-2# og linjen vinkelrett på # BC # har skråning #1#.

Nå kan vi finne ligningene i høydepunktene til punkt C (motsatt AB) og punkt A (motsatt fc) ved å erstatte koordinatene til disse punktene i ligningen

# Y = mx + c #

For punkt C er høyden:

# 6 = -2 (5) + c # som gir # C = 6 + 10 = 16 # derfor #y = -2x + 16 #

Tilsvarende, for punkt A:

# 5 = 1 (9) + c # som gir # c = 5-9 = -4 # så ligningen er:

# y = x-4 #

For å finne orthocenteret, må vi bare finne punktet der disse to linjene krysser. Vi kan likestille dem til hverandre:

# -2x + 16 = x-4 #

omorganisere, # 3x = 20 til x ~~ 6,67 #

Erstatt i begge ligninger for å finne # Y # verdi, som er #2.67#.

Derfor er orthocenteret punktet #(6.67, 2.67)#.