Tellingen i en bakteriekultur var 700 etter 20 minutter og 1000 etter 40 minutter. Hva var den opprinnelige størrelsen på kulturen?

Svar:

490 mikroorganismer.

Forklaring:

Jeg vil påta seg eksponentiell vekst for bakterier. Dette betyr at vi kan modellere veksten med en eksponentiell funksjon:

#f (t) = A_0e ^ (kt) #

hvor # K # er veksten konstant og # A_0 # er den opprinnelige mengden bakterier.

Del de to kjente verdiene inn i funksjonen for å få to ligninger:

# 700 = A_0e ^ (20k) # (1)

# 1000 = A_0e ^ 40k # (2)

Del (2) av (1) for å finne # K #:

# 1000/700 = (avbryt (A_0) e ^ (40k)) / (avbryt (A_0) e ^ (20k)) #

# 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) #

Ta den naturlige loggen på begge sider for å isolere # K #:

#ln (10/7) = avbryt (ln) avbryt (e) ^ (20k) #

#ln (10/7) = 20k #

# K = ln (10/7) / 20 #

Nå som vi har veksten konstant, # K #, kan vi erstatte ett av poengene i å løse det opprinnelige beløpet, # A_0 #:

#(40,1000)#

# 1000 = A_0e ^ (ln (10/7) / 20 * 40) #

# A_0 = 1000 / e ^ (0,0178 * 40) = 490 #

Svar:

Innledende kulturstørrelse var #490#

Forklaring:

Veksten kan betraktes som en geometrisk progresjon med samme vekstraten etter hvert intervall på #20# minutter.

Veksten kan bestemmes av #1000/700 =10/7#

I forhold til størrelsen på den opprinnelige befolkningen # (X) #

Dette betyr:

#x xx 10/7 rarr 700 xx 10/7 rarr 1000 #

# 0 "min" farge (hvit) (xxx) 20 "min" farge (hvit) (xxx) 40 "minutter" #

Så hvis vi reverserer prosessen deler vi bare med #10/7#

#x larr 10/7 div 700 larr 10/7 div larr 1000 #

Husk at #div 10/7 = xx 7/10 #

# 1000 xx 7/10 = 700 #

# 700 xx 7/10 = 490 #