Hva er projeksjonen av (4 i + 4 j + 2 k) på (i + j -7k)?

Svar:

Vektorprojeksjonen er #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalarprojeksjonen er # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Se nedenfor.

Forklaring:

gitt # Veca = (4i + 4j + 2k) # og # vecb = (i + j-7k) #, vi kan finne #proj_ (vecb) Veca #, den vektor projeksjon av # Veca # videre til # Vecb # ved hjelp av følgende formel:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet til de to vektorene dividert med størrelsen på # Vecb #, ganget med # Vecb # dividert med størrelsen. Den andre mengden er en vektormengde, idet vi deler en vektor av en skalar. Legg merke til at vi deler # Vecb # av dens størrelse for å skaffe en enhetsvektor (vektor med størrelsen på #1#).Du kan merke at den første mengden er skalar, da vi vet at når vi tar punktproduktet av to vektorer, er resultatet en skalar.

derfor skalar projeksjon av #en# videre til # B # er #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Vi kan begynne med å ta prikkproduktet av de to vektorene, som kan skrives som # veca = <4,4,2> # og # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Da kan vi finne størrelsen på # Vecb # ved å ta kvadratroten av summen av rutene til hver av komponentene.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

Og nå har vi alt vi trenger for å finne vektorprojeksjonen av # Veca # videre til # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Du kan distribuere koeffisienten til hver komponent i vektoren og skrive som:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Den skalære projeksjonen av # Veca # videre til # Vecb # er bare den første halvdelen av formelen, hvor #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Derfor er skalarprojeksjonen # -6 / sqrt (51) #, som ikke forenkler ytterligere, foruten å rationalisere nevneren om ønskelig, å gi # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Håper det hjelper!