Hastighetsfunksjonen er v (t) = -t ^ 2 + 3t - 2 for en partikkel som beveger seg langs en linje. Hva er forskyvningen (netto avstandsdekket) av partikkelen i tidsintervallet [-3,6]?

Svar:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Forklaring:

Området under en hastighetskurve er ekvivalent med avstanden som er dekket.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (hvit) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (blå) ((- 3)) ^ farge (rød) (6) #

# - (farge (rød) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Svar:

Det opprinnelige spørsmålet er litt forvirrende, da det innebærer at forskyvning og avstand er det samme, som det ikke er.

Jeg har satt opp den nødvendige integrasjonen for hvert annet tilfelle herunder.

Forklaring:

Total distanse (skalar kvantitet som representerer faktisk sti lengde) er gitt av summen av de delvise integralene

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ + 2-3t 2) dt #

Total forskyvning (vektormengde som representerer rett linje trukket fra start til slutt av bevegelse) er gitt i størrelsesorden av følgende integral

# | Vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Grafen av hastighetsfunksjonen med tiden gjør det klart hvorfor disse integralene må settes opp for at vektorreglene skal adlydes og definisjonene som skal tilfredsstilles.

graf {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}