Svar:
# x = arctan (-3) + 180 ^ sirk k eller x = -45 ^ sirk + 180 ^ sirk k quad # for heltall # K. #
Forklaring:
Jeg har jobbet dette på to forskjellige måter, men jeg tror denne tredje veien er best. Det finnes flere dobbelvinkelformler for cosinus. La oss ikke bli fristet av noen av dem. La oss også unngå kvadratiske ligninger.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Den lineære kombinasjonen av cosinus og sinus er en faseskiftet cosinus.
La # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # og
# theta = tekst {Arc} tekst {tan} (2/1) #
Jeg angav hovedinversiell tangent, her i den første kvadranten, rundt # Theta = 63,4 ^ Krets #. Vi er sikre på
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Så vi kan omskrive vår ligning
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = synd (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ sirk + theta) #
Husk alltid den generelle løsningen på #cos x = cos a # er # x = pm a + 360 ^ sirk k quad # for heltall # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ sirk + theta) + 360 ^ sirk k #
# 2x = theta pm (90 ^ sirk + theta) + 360 ^ sirk k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ sirk + theta / 2) + 180 ^ sirk k #
Tar tegnene en om gangen, # x = theta + 45 ^ sirk + 180 ^ sirk k eller x = -45 ^ sirk + 180 ^ sirk k #
#phi = theta + 45 ^ sirk # er en konstant vi kan prøve å få et bedre uttrykk for:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ sirkel) #
Tan (45 ^ sirk)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Vi vet # Phi # er i den andre kvadranten, ikke i det vanlige spekteret av hovedverdien.
#phi = tekst {Arc} tekst {tan} (- 3) + 180 ^ sirk #
Det viser seg ikke å bety noe fordi vi legger til # 180 ^ sirk k # til # Phi # i den generelle løsningen uansett. Sette alt sammen, # x = arctan (-3) + 180 ^ sirk k eller x = -45 ^ sirk + 180 ^ sirk k #
Vi trenger ikke å være grundig om arctanens hovedverdien; siden vi legger til # 180 ^ sirk k # noen verdi vil gjøre. Vi kunne skrive den første # X = arctan (-3) # med # 180 ^ sirk k # underforstått, men la oss forlate det her.
