Hva er kvadratroten av 543?

Svar:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Forklaring:

Den primære faktorisering av #543# er:

#543 = 3 * 181#

Siden det ikke har noen firkantede faktorer større enn #1#, kvadratroten til #543# kan ikke forenkles.

Det er et irrasjonelt tall mellom # 23 = sqrt (529) # og # 24 = sqrt 576 #.

Linjært interpolerende, vi kan omtrentlige:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23.3 #

For mer nøyaktighet, la # p_0 / q_0 = 233/10 # og iterate ved hjelp av formlene:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Så:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):}

Bare denne ene iterasjonen er tilstrekkelig for å få #7# (nesten #8#) signifikante tall:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Hvis vi vil ha mer nøyaktighet, bare gjenta igjen.

fotnote

Den nøyaktige gjentatte fortsatte fraksjon for #sqrt (543) # er:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

hvorfra det er mulig å finne løsningen av Pells ligning:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

som gjør #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # en svært effektiv tilnærming.