Hvordan finner du de kritiske punktene for f (x) = - (sinx) / (2 + cosx) og den lokale max og min?

Svar:

De kritiske punktene er på:

# ((2pi) / 3, sqrt (3) / 3) #er et minimumspunkt

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # er det maksimale punktet.

Forklaring:

For å finne de kritiske punktene må vi finne #f '(x) #

deretter løse for #f '(x) = 0 #

#f '(x) = - ((sinx)' (2 + cosx) - (2 +) 'sinx cosx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (cosx (2 + cosx) - (- sinx) sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (2cosx + cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x)) / (2 + cosx) ^ 2 #

Siden # cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 # vi har:

#f '(x) = - (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 #

La oss dolce for #f '(x) = 0 #for å finne de kritiske punktene:

#f '(x) = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) = 0 #

#rArr (2cosx + 1) = 0 #

# RArr2cosx = -1 #

# RArrcosx = -1/2 #

#cos (PI- (pi / 3)) = - 1/2 #

eller

#cos (pi + (pi / 3)) = - 1/2 #

Derfor, # X = PI- (pi / 3) = (2 pi) / 3 #

eller # X = pi + (pi / 3) = (4pi) / 3 #

La oss beregne #f ((2pi) / 3) = - sin ((2pi) / 3) / (2 + cos ((2pi) / 3) #

#f ((2 pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (2-1 / 2) #

#f ((2 pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (3/2) #

#f ((2 pi) / 3) = - (sqrt (3) / 3) #

Siden#f (x) # er avtagende på # (0, (2 pi) / 3) #

Deretter# (((2pi) / 3), - sqrt (3) / 3) # er minimumspunktet

Siden da øker funksjonen til # X = (4 (pi) / 3) # så poenget

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # er det maksimale punktet.