Hva er vanlige feil studentene gjør med ellipser i standardform?

Standardformularen for en ellipse (som jeg underviser) ser ut som: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) er sentrum.

avstanden "a" = hvor langt høyre / venstre for å flytte fra sentrum for å finne de horisontale endepunktene.

avstanden "b" = hvor langt opp / ned for å flytte fra sentrum for å finne de vertikale endepunktene.

Jeg tror ofte at studentene feilaktig tror det # A ^ 2 # er hvor langt å bevege seg bort fra sentrum for å finne endepunktene. Noen ganger vil dette være en veldig stor avstand å reise!

Også, jeg tror noen ganger at studentene feilaktig beveger seg opp / ned i stedet for høyre / venstre når de bruker disse formlene til sine problemer.

Her er et eksempel å snakke om:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Senteret er (1, -4). Du bør flytte til høyre og venstre "a" = 2 enheter for å få de horisontale endepunktene på (3, -4) og (-1, -4). (se bildet)

Du bør flytte opp og ned "b" = 3 enheter for å få de vertikale endepunktene på (1, -1) og (1, -7). (se bildet)

Siden a <b vil hovedaksen være i vertikal retning.

Hvis a> b, vil hovedaksen gå i horisontal retning!

Hvis du trenger å finne ut noe annet om ellipser, spør du et annet spørsmål!

(Forvirring om hvorvidt #en# og # B # representerer større / mindre radier, eller # X #- & # Y #-radii)

Husk at standardformularen for en ellipse sentrert ved opprinnelsen er

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Allikevel vil noen ta opp med formelen oppført ovenfor. Noen tankeskoler holder det #en# bør alltid være større enn # B # og representerer således lengden på hovedradiusen (selv om hovedradiusen ligger i vertikal retning, og dermed tillater det # Y ^ 2 / a ^ 2 # i et slikt tilfelle), mens andre holder fast at det alltid skal representere # X #-radius (selv om # X #-radius er den mindre radiusen).

Det samme gjelder med # B #, men i omvendt. (det vil si noen tror det # B # bør alltid være den mindre radiusen, og andre mener at det alltid skal være # Y #-radius).

Pass på at du vet hvilken metode din instruktør (eller programmet du bruker) foretrekker. Hvis det ikke finnes en sterk preferanse, så velg bare for deg selv, men være konsekvent med din beslutning. Å bytte tankene halvveis gjennom oppdraget vil gjøre ting uklart, og bytte tankene halvveis gjennom en enkelt problem vil bare føre til feil.

(Radius / akse forvirring)

Flertallet av feil i ellipser synes å skyldes denne forvirringen om hvilken radius er stor og som er mindre. Andre mulige feil kan oppstå hvis man forveksler hovedradius med hovedakselen (eller den mindre radius med mindre akse). Hovedaksen (eller mindre) er lik to ganger den store (eller mindre) radiusen, da den i hovedsak er den store (eller mindre) diameteren. Avhengig av trinnet der denne forvirringen oppstår, kan dette føre til alvorlige feil i skalaen for ellipsen.

(Radius / radius squared forvirring)

En lignende feil oppstår når elevene glemmer at nevennerne (# a ^ 2, b ^ 2 #) er firkantene av radien, og ikke radiene selv. Det er ikke uvanlig å se en student med et problem som # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # tegne en ellipse med # X #-radius 9 og # Y #-radius 4. Videre kan dette forekomme i forbindelse med feilen ovenfor (forvirrende radius for diameteren), som fører til utfall som en elev med ligningen ovenfor og tegner en ellipse med stor diameter 9 (og dermed stor radius 4.5) i stedet for riktig hoveddiameter 6 (og hovedradius 3).

(Hyperbola og Ellipseforvirring) ADVARSEL: Svaret er ganske langvarig

En annen vanlig feil oppstår hvis man mis-husker formelen for ellipsen. Spesielt synes de vanligste av disse feilene å forekomme når man forveksler formelen for ellipser med det for hyperboler (som, husker, er # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # eller # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # for de som er sentrert ved opprinnelsen, igjen underlagt de akse-merkingskonvensjoner som er nevnt ovenfor). For dette hjelper det å huske definisjonen av ellipser og hyperboler som koniske seksjoner.

Spesielt husker at en ellipse er poengpunktet knyttet til to foci # f_1 & f_2 # Ligger langs hovedaksen slik at, for et vilkårlig punkt # P # på loka, avstanden fra # P # til # F_1 # (merket # D_1 #) pluss avstanden fra # P # til # F_2 # (merket # D_2 #) tilsvarer to ganger hovedradiusen (dvs. hvis #en# er den store radiusen, # d_1 + d_2 = 2a #). Videre er avstanden fra sentrum til en av disse fociene (noen ganger kalt halvfokal separasjon eller lineær eksentrisitet), forutsatt #en# er hovedradiusen, er lik #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

I motsetning til dette er en hyperbola poengpunktet knyttet til to foci på en slik måte at for et punkt # P # på lokus, den absolutte verdien av forskjell mellom punktets avstand til første fokus og punktets avstand til det andre fokuset er lik to ganger hovedradiusen (dvs. med #en# stor radius, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Videre, avstanden fra sentrum av hyperbola til en av disse fociene (igjen, noen ganger kalt den lineære eksentrisitet, og fortsatt antar #en# stor radius) er lik #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

I forhold til definisjonen av koniske seksjoner, den generelle eksentrisitet # E # av et avsnitt avgjør om det er en sirkel (# E = 0 #), ellipse (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #), eller hyperbola (#E> 1 #). For ellipser og hyperboler kan eksentrisiteten beregnes som forholdet mellom den lineære eksentrisitet og lengden av hovedradiusen; dermed, for en ellipse vil det bli #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (og dermed nødvendigvis mindre enn 1), og for en hyperbola vil det være #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (og dermed nødvendigvis større enn 1).