Finn alle kritiske punkter for denne funksjonen?

Svar:

#(0,-2)# er et sadelpunkt

#(-5,3)# er et lokalt minimum

Forklaring:

Vi er gitt #G (x, y) = 3x ^ 2 + 6XY + 2y ^ 3 + 12x 24y-#

Først må vi finne poengene der # (Delg) / (delx) # og # (Delg) / (Dely) # begge er like 0.

# (Delg) / (delx) = + 6x 6y + 12 #

# (Delg) / (dely) = + 6x 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# X = y-2 #

# Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-y-6 = 0 #

# (Y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 eller -2 #

# X = -3-2 = -5 #

# X = 2-2 = 0 #

Kritiske poeng oppstår på #(0,-2)# og #(-5,3)#

Nå for å klassifisere:

Bestemmelsen av #f (x, y) # er gitt av #D (x, y) = (del ^ 2 g) / (delx ^ 2) (del ^ 2 g) / (Dely ^ 2) - ((del ^ 2 g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = del / (delx) (6x 6y + + 12) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (dely ^ 2) = del / (dely) ((delg) / (dely)) = del / (dely) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2 g) / (delxy) = del / (delx) ((delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (delyx) = del / (dely) ((delg) / (delx)) = del / (dely) (6x 6y + + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

# D (0, -2) = 72 (-2) = -36 -180 #

# D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Siden # D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# er et sadelpunkt.

Og siden #D (-5,3)> 0 og (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# er et lokalt minimum. (# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = 6 # så vi trenger ikke å gjøre noen beregninger).