Hva er projeksjonen av (3i + 2j - 6k) på (3i - 4j + 4k)?

Svar:

Vektorprojeksjonen er #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalarprojeksjonen er # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Forklaring:

gitt # Veca = (3i + 2j-6 k) # og # vecb = (3i-4j + 4k) #, vi kan finne #proj_ (vecb) Veca #, den vektor projeksjon av # Veca # videre til # Vecb # ved hjelp av følgende formel:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet til de to vektorene dividert med størrelsen på # Vecb #, ganget med # Vecb # dividert med størrelsen. Den andre mengden er en vektormengde, idet vi deler en vektor av en skalar. Legg merke til at vi deler # Vecb # av dens størrelse for å skaffe en enhetsvektor (vektor med størrelsen på #1#). Du kan merke at den første mengden er skalar, da vi vet at når vi tar punktproduktet av to vektorer, er resultatet en skalar.

derfor skalar projeksjon av #en# videre til # B # er #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Vi kan begynne med å ta prikkproduktet av de to vektorene, som kan skrives som # veca = <3,2, -6> # og # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3,4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Da kan vi finne størrelsen på # Vecb # ved å ta kvadratroten av summen av rutene til hver av komponentene.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Og nå har vi alt vi trenger for å finne vektorprojeksjonen av # Veca # videre til # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Du kan distribuere koeffisienten til hver komponent i vektoren og skrive som:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Den skalære projeksjonen av # Veca # videre til # Vecb # er bare den første halvdelen av formelen, hvor #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Derfor er skalarprojeksjonen # -23 / sqrt (41) #, som ikke forenkler ytterligere, foruten å rationalisere nevneren om ønskelig, å gi # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Håper det hjelper!