Hvorfor gjør factoring polynomene ved å gruppere arbeid?

Hvorfor gjør factoring polynomene ved å gruppere arbeid?
Anonim

Det fungerer for noen polynomer, men ikke for andre. For det meste fungerer det for dette polynomet fordi læreren, eller forfatteren eller testeren, valgte et polynom som kunne bli fakturert på denne måten.

Eksempel 1

Factor: # 3x ^ 3 + 6x ^ søke disse 3-5 ganger-10 #

Jeg grupperer de to første begrepene og tar ut noen felles faktor for de to:

# (3x ^ 3 + 6x ^ 2) -5x-10 = 3x ^ 2 (x + 2) -5x-10 #

Nå tar jeg ut noen vanlige faktorer i de to andre termer. Hvis jeg får monomentider # (X + 2) # da vil factoring ved gruppering fungere. Hvis jeg får noe annet, vil det ikke fungere.

Ther vanlig faktor av # (- 5x-10) # er #-5#. Tar den faktoren ut blader # -5 (x + 2) # så vi vet factoring ved gruppering vil fungere.

# 3x ^ 3 + 6x ^ 2-5x-10 = (3x ^ 3 + 6x ^ 2) + (- 5x-10) #

# = 3x ^ 2 (x + 2) -5 (x + 2) #.

Nå har vi to begreper med en felles faktor # C # hvor # C = (x-2) #. Så vi har # 3x ^ 2C-5C = (3x-5) C #

Det er: vi har # (3x ^ 2-5) (x + 2) #

Vi stopper der hvis vi bare er villige til å bruke heltall (eller rasjonelle) koeffisienter.

Eksempel 2

Factor: # 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 #

# 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 = (4x ^ 3-10x ^ 2) + 6x + 15 #

# = 2x ^ 2 (2x-5) + 6x + 15 #

Nå hvis vi tar en felles faktor ut av # 6x + 15 # og få monomentider # (2x-5) #, så kan vi fullføre factoring ved å gruppere. Hvis vi får noe annet, vil faktoring ved gruppering ikke fungere.

I dette tilfellet får vi # 6x + 15 = 3 (2x + 5) #. Nesten !, Men nær fungerer ikke i factoring ved å gruppere. Så vi kan ikke fullføre dette ved å gruppere.

Eksempel 3 Du gjør testmakerens jobb.

Jeg vil ha et problem som kan betraktes ved å gruppere.

Jeg begynner med # 12x ^ 3-28x ^ 2 # Så, hvis det kan bli fakturert ved å gruppere, må resten av det se ut som hva?

Det må være monomentider # (3x-7) #.

Så ferdig med # 6x-14 # ville fungere, eller # 15x-35 #, eller jeg kunne bli vanskelig og bruke # -9x + 21 #. Faktisk noen ganger # (3x-7) # lagt til det jeg allerede har vil gi meg et polynom som kan bli fakturert ved å gruppere.

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + k3x-k7 # for noen # K # kan bli fakturert som:

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + 3kx-7 k = 4x ^ 2 (3x-7) + k (3x-7) = (4x ^ 2 + k) (3x-7) #

Endelig notat: # K = -1 # eller # K = -9 # ville gjøre gode valg. Fordi da er fisrt-faktoren en forskjell på 2 firkanter og kan bli fakturert.