Svar:
Serien konvergerer helt.
Forklaring:
Først merk at:
og
Derfor hvis
Dette er en p-serie med
Derfor konvergerer serien helt:
Se http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html for mer info.
Ved hjelp av definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
La: a_n = 5 + 1 / n da for noen m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gitt et ekte tall epsilon> 0, velg deretter et helt tall N> 1 / epsilon. For alle heltall m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon som viser Cauchys tilstand for konvergens av en sekvens.
Ved å bruke definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Bruk egenskapene til den eksponensielle funksjonen til å bestemme N slik som | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definisjonen av konvergensstilstander som {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så, gitt epsilon> 0 ta N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nå som 2 ^ x er alltid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da
Hvordan bruker du Integral Test for å bestemme konvergens eller divergens av serien: sum n e ^ -n fra n = 1 til uendelig?
Ta integralen int_1 ^ ooxe ^ -xdx, som er endelig, og merk at den grenser sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Derfor er det konvergent, så sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) er også. Den formelle setningen av integralprøven sier at hvis fin [0, oo) rightarrowRR en monoton reduksjon funksjon som ikke er negativ. Så sum summen (n = 0) ^ oof (n) er konvergent hvis og bare hvis "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, andre utgave. Hindustan bokbyrå. 2009). Denne utsagnet kan virke litt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilfellet tar funksjonen f (x) = xe ^ (