Hva er en stykkvis kontinuerlig funksjon? + Eksempel

Svar:

En stykkevis kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig bortsett fra et begrenset antall poeng i sitt domene.

Forklaring:

Vær oppmerksom på at punkter av diskontinuitet av en stykkvis kontinuerlig funksjon ikke behøver å være flyttbare diskontinuiteter. Det er at vi ikke krever at funksjonen kan gjøres kontinuerlig ved å omdefinere den på disse punktene. Det er tilstrekkelig at hvis vi ekskluderer disse punktene fra domenet, er funksjonen kontinuerlig på det begrensede domenet.

For eksempel, vurder funksjonen:

#s (x) = {(-1, "hvis x <0"), (0, "hvis x = 0"), (1, "hvis x> 0"):} #

graf {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0,001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Dette er kontinuerlig for alle #x i RR # unntatt #x = 0 #

Diskontinuiteten på # X = 0 # er ikke flyttbar. Vi kan ikke omdefinere # s (x) # på det tidspunktet og få en kontinuerlig funksjon.

På # X = 0 # grafen av funksjonen "hopper". Mer formelt, i språket av grenser finner vi:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Så venstre grense og høyre grense er uenig med hverandre og med verdien av funksjonen på # X = 0 #.

Hvis vi ekskluderer det endelige settet av diskontinuiteter fra domenet, vil funksjonen som er begrenset til dette nye domenet, være kontinuerlig.

I vårt eksempel, definisjonen av # s (x) # som en funksjon fra # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # er kontinuerlig.

Hvis vi graver # s (x) # begrenset til dette domenet, ser det fremdeles ut som det er diskontinuert på #0#, men #0# er ikke en del av domenet, så "hopp" det er irrelevant. På et hvilket som helst tidspunkt, vilkårlig nær #0#, kan vi velge et lite åpent intervall rundt det der funksjonen er (konstant og derfor) kontinuerlig.

Litt forvirrende, funksjonen #tan (x) # betraktes som kontinuerlig - heller enn stykkevis kontinuerlig, fordi asymptotene på #x = pi / 2 + n pi # er ekskludert fra domenet.

graf {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

I mellomtiden er sawtooth-funksjonen #f (x) = x - gulv (x) # Betraktes ikke stykkevis kontinuerlig som en funksjon fra # RR # til # RR #, men er stykkevis kontinuerlig på et hvilket som helst endelig åpent intervall.

graf (3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}