Hva er lengden på (t-3, t + 4) på t i [2,4]?

Svar:

# A = 2sqrt2 #

Forklaring:

Formelen for parametrisk lysbue lengde er:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Vi begynner med å finne de to derivatene:

# Dx / dt = 1 # og # Dy / dt = 1 #

Dette gir at lysbuen er:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Faktisk, siden den parametriske funksjonen er så enkel (det er en rett linje), trenger vi ikke engang den integrerte formelen. Hvis vi plotter funksjonen i en graf, kan vi bare bruke vanlig avstand formel:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Dette gir oss det samme resultatet som integralet, og viser at begge metoder virker, men i dette tilfellet vil jeg anbefale den grafiske metoden fordi den er enklere.