Bevis sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Svar:

I forklaring

Forklaring:

På et normalt koordinatplan har vi koordinat som (1,2) og (3,4) og ting som det. Vi kan reexpress disse koordinatene n termer av radier og vinkler. Så hvis vi har poenget (a, b) betyr det at vi går til enhetene til høyre, b enheter opp og #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # som avstanden mellom opprinnelsen og punktet (a, b). jeg ringer #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Så vi har # Re ^ ctg (b / a) #

Nå for å fullføre dette beviset, la oss huske en formel.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funksjonen av bue-tan gir meg en vinkel som også er theta.

Så vi har følgende ligning:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + synd (arctan (b / a)) #

Nå kan vi tegne en riktig trekant.

Arctan av (b / a) forteller meg at b er motsatt side og a er den tilstøtende siden. Så hvis jeg vil ha cos av arctan (b / a), bruker vi Pythagorasetningen til å finne hypotenusen. Hypotenuse er #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Så cos (arctan (b / a)) = tilstøtende over hypotenuse = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Den beste delen om dette er det faktum at dette samme prinsippet gjelder sinus. Så synd (arctan (b / a)) = motsatt over hypotenuse = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Så nå kan vi uttrykke vårt svar som dette: #R * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Men husk #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # så nå har vi: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R er avbryt, og du er igjen med følgende: # A + bi #

Derfor, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #