Hva er bue lengden på r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t / 1) på tinn [1, ln2]?

Svar:

Arc lengde #~~ 2.42533 # (5dp)

Buen lengden er negativ på grunn av den nedre grensen #1# være større enn den øvre grensen til # LN2 #

Forklaring:

Vi har en parametrisk vektorfunksjon, gitt av:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

For å beregne buelengden vil vi kreve vektorderivatet, som vi kan beregne ved hjelp av produktregelen:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) +) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

(T ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Deretter beregner vi størrelsen på derivatvektoren:

# | bb ul r '(t) | = sqrt (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

(2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Da kan vi beregne lysbuen med:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

(2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Det er usannsynlig at vi kan beregne dette integralet ved hjelp av analytisk teknikk, så i stedet ved hjelp av numeriske metoder får vi en tilnærming:

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

Buen lengden er negativ på grunn av den nedre grensen #1# være større enn den øvre grensen til # Ln2 #