Hva er bue lengden på r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t / 1) på tinn [1, ln2]?

Svar:

Arc lengde #~~ 2.42533 # (5dp)

Buen lengden er negativ på grunn av den nedre grensen #1# være større enn den øvre grensen til # LN2 #

Forklaring:

Vi har en parametrisk vektorfunksjon, gitt av:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

For å beregne buelengden vil vi kreve vektorderivatet, som vi kan beregne ved hjelp av produktregelen:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) +) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

(T ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Deretter beregner vi størrelsen på derivatvektoren:

# | bb ul r '(t) | = sqrt (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

(2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Da kan vi beregne lysbuen med:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

(2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Det er usannsynlig at vi kan beregne dette integralet ved hjelp av analytisk teknikk, så i stedet ved hjelp av numeriske metoder får vi en tilnærming:

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

Buen lengden er negativ på grunn av den nedre grensen #1# være større enn den øvre grensen til # Ln2 #

Omkretsen av en trekant er 29 mm. Lengden på den første siden er to ganger lengden på den andre siden. Lengden på den tredje siden er 5 mer enn lengden på den andre siden. Hvordan finner du sidelengder av trekanten?

S_1 = 12 s_2 = 6 s_3 = 11 En trekants omkrets er summen av lengdene på alle sider. I dette tilfellet er det gitt at omkretsen er 29 mm. Så for dette tilfellet: s_1 + s_2 + s_3 = 29 Så løser vi lengden på sidene, vi oversetter setninger i gis i ligningsform. "Lengden på den første siden er to ganger lengden på den andre siden" For å løse dette tilordner vi en tilfeldig variabel til enten s_1 eller s_2. For dette eksempelet ville jeg la x være lengden på den andre siden for å unngå å ha brøker i min ligning. så vi vet at: s_1 = 2s_

PERIMETER av likevel trapesformet ABCD er lik 80 cm. Lengden på linjen AB er 4 ganger større enn lengden på en CD-linje som er 2/5 lengden på linjen BC (eller linjene som er like i lengden). Hva er området med trapesen?

Trapesområdet er 320 cm ^ 2. La trapesen være som vist nedenfor: Her, hvis vi antar mindre side CD = a og større side AB = 4a og BC = a / (2/5) = (5a) / 2. Som sådan er BC = AD = (5a) / 2, CD = a og AB = 4a Derav omkrets er (5a) / 2xx2 + a + 4a = 10a Men omkretsen er 80 cm .. Derav a = 8 cm. og to paallelsider vist som a og b er 8 cm. og 32 cm. Nå tegner vi perpendikulære fron C og D til AB, som danner to identiske rettvinklede triangler, hvis hypotenuse er 5 / 2xx8 = 20 cm. og basen er (4xx8-8) / 2 = 12 og dermed er høyden sqrt (20 ^ 2-12 ^ 2) = sqrt (400-144) = sqrt256 = 16 og dermed so

Hva er bue lengden på r (t) = (t, t, t) på tinn [1,2]?

Sqrt (3) Vi søker bue lengden på vektorfunksjonen: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> for t i [1,2] Som vi lett kan evaluere ved hjelp av: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Så beregner vi derivatet, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Slik får vi buelengden: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Dette trivielle resultatet bør ikke komme som en overraskelse, da den gitte opprinnelige ligningen er den rette linjen.