Hvordan bruker du den første avledetesten til å bestemme den lokale extrema y = sin x cos x?

Svar:

Extrema for # Y = sin (x) cos (x) # er

# X = pi / 4 + npi / 2 #

med # N # et relativt heltall

Forklaring:

Være #f (x) # funksjonen som representerer variasjonen av # Y # med repsect til # X #.

Være #f '(x) # derivatet av #f (x) #.

#f '(a) # er hellingen til #f (x) # kurve på # x = a # punkt.

Når hellingen er positiv, øker kurven.

Når skråningen er negativ, minker kurven.

Når hellingen er null, forblir kurven til samme verdi.

Når kurven når en ekstrem, vil den slutte å øke / avta og begynne å avta / øke. Med andre ord vil skråningen gå fra positiv til negativ - eller negativ til positiv - forbi nullverdien.

Derfor, hvis du leter etter en funksjons extrema, bør du se etter dets derivatets nullverdier.

NB Det er en situasjon når derivatet er null, men kurven når ikke en ekstremitet: det kalles et bøyningspunkt. kurven vil øyeblikkelig slutte å øke / senke og deretter fortsette å øke / avta. Så du bør også sjekke om skiltets skilt endres rundt nullverdien.

Eksempel: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos 2 ^ (x) -sin ^ 2 (x) #

Nå som vi har formelen for #f '(x) #, vi vil se etter null-verdiene:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Løsningene er # Pi / 4 + NPI / 2 # med # N # et relativt heltall.

Svar:

Selv om vi planlegger å bruke den første avledede testen, er det verdt å observere det #y = 1/2 synd (2x) #.

Forklaring:

Etter å ha gjort denne observasjonen, trenger vi ikke virkelig kalkulator for å finne ekstrem.

Vi kan stole på vår kunnskap om trigonometri og grafer av sinusformede funksjoner

Maksimumsverdien (1/2) vil oppstå når # 2x = pi / 2 + 2pik # eller når #x = pi / 4 + pik # til # K # et heltall.

Minimumet skjer på #x = 3pi / 4 + pik # til # K # et heltall.

Vi kan bruke derivatet, men vi trenger egentlig ikke det.

Bruk av derivatet

Å ha omskrevet # Y #, vi kan raskt se det #y '= cos (2x) #

Så de kritiske tallene for # Y # er # 2x = pi / 2 + 2pik # og # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (når cosinus er #0#) eller

# x = pi / 4 + pik # og # x = (3pi) / 4 + pik #

Kontrollerer tegn på #y '= cos (2x) #, finner vi maksimale verdier ved det første settet av kritiske tall og minimumsverdier på den andre.

To søstre åpner sparekontoer med $ 60. Den første søsteren legger til $ 20 hver måned på kontoen sin. Den andre søsteren legger til $ 40 hver annen måned til henne. Hvis søstrene fortsetter å foreta innskudd i samme takt, når vil de ha samme beløp?

Uten interesse vil de ha samme mengde penger etter det første innskuddet på $ 60 og hver eneste måned etterpå. Med interesse vil de bare ha samme mengde penger opp til når den første søsteren gjør sitt første innskudd. Jeg skal svare på dette spørsmålet, først ignorerer interesse, og deretter med interesse. Ingen interesse Vi har to kontoer opprettet av to søstre. De åpner kontoene med $ 60, deretter legger du til penger hver måned: ($, $ 60, $ 60), $ 2, $ 100 , $ 100), ($ 3, $ 120, $ 100), (4, $ 140, $ 140), (vdoter, vdoter, vdoter)) Og så

Hva kan tidsforsinkelsen mellom den første ankomsten av P-bølgen og den første ankomsten av S-bølgen brukes til å bestemme?

Forskjellen i ankomsttider mellom P og S-bølger kan brukes til å bestemme avstanden mellom stasjonen og et jordskjelv. - Ulike bølger kjører hver med forskjellige hastigheter og kommer derfor til en seismisk stasjon på forskjellige tidspunkter. - Forskjellen i ankomsttider mellom P og S-bølger kan brukes til å bestemme avstanden mellom stasjonen og et jordskjelv. - Ved å vite hvor langt unna skjelvet var fra tre stasjoner, kan vi tegne en sirkel rundt hver stasjon med en radius som er lik avstanden fra jordskjelvet. Jordskjelvet skjedde på det punktet der alle tre sirkler krysse

Du har håndklær i tre størrelser. Lengden på den første er 3/4 m, noe som utgjør 3/5 av lengden på den andre. Lengden på det tredje håndkleet er 5/12 av summen av lengdene til de to første. Hvilken del av den tredje håndkle er den andre?

Forholdet mellom andre til tredje håndkle lengde = 75/136 Lengde på første håndkle = 3/5 m Lengde på andre håndkle = (5/3) * (3/4) = 5/4 m Summen av de to første håndklær = 3/5 + 5/4 = 37/20 Lengde på den tredje håndkle = (5/12) * (37/20) = 136/60 = 34/15 m Forholdet mellom andre til tredje håndkle lengde = (5/4 ) / (34/15) = (5 * 15) / (34 * 4) = 75/136