Løs differensialligningen: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Diskuter hva slags differensialligning er dette, og når det kan oppstå?

Svar:

#y = (Axe + B) e ^ (4x) #

Forklaring:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

best skrevet som

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

som viser at dette er lineær andre rekkefølge homogen differensialligning

den har karakteristisk ligning

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

som kan løses som følger

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

Dette er en gjentatt rot, så den generelle løsningen er i form

#y = (Axe + B) e ^ (4x) #

Dette er ikke-oscillerende og modellerer en slags eksponensiell oppførsel som virkelig er avhengig av verdien av A og B. Man kan gjette at det kan være et forsøk på å modellere befolkning eller rovdyr / bytteveksling, men jeg kan egentlig ikke si noe veldig spesifikt.

det viser ustabilitet og det handler om alt jeg virkelig kunne si om det

Svar:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Forklaring:

Differensialekvasjonen

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (DY) / (dx) + 16y = 0 #

er en lineær homogen konstant koeffisientligning.

For de ligningene har den generelle løsningen strukturen

#y = e ^ {lambda x} #

Bytte vi har

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Her # e ^ {lambda x} ne 0 # så løsningene må adlyde

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Løsning vi skaffer

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Når røttene gjentar, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # er også løsning. I tilfelle # N # røttene gjentas, vi vil ha som løsninger:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # til # I = 1,2, cdots, n #

Så, for å opprettholde antall innledende forhold, inkludere vi dem som uavhengige løsninger.

I dette tilfellet har vi

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

noe som resulterer i

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Disse ligningene vises når man modellerer lineære klumpede parametersystemer som de som finnes i lineær kretsteori eller lineær mekanikk. Disse ligningene håndteres normalt ved bruk av operative algebraiske metoder som Laplace Transform-metoder