For hvilke verdier av x er f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkav eller konveks?

Svar:

Finn det andre derivatet og sjekk dets tegn. Det er konveks hvis det er positivt og konkavt hvis det er negativt.

Konkav for:

#x i (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konveks for:

#x i (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Forklaring:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Første derivat:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Ta # E ^ -x # som en vanlig faktor for å forenkle neste derivat:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Andre derivat:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x 2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Nå må vi studere tegnet. Vi kan bytte tegnet for enkelt å løse kvadratet:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4 x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

For å gjøre det kvadratiske et produkt:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Derfor:

#f '' (x) = - e ^ -x * (X- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• En verdi på # X # mellom disse to løsningene gir et negativt kvadratisk tegn, mens noen annen verdi av # X # gjør det positivt.
• Enhver verdi av # X # gjør at # E ^ -x # positive.
• Det negative tegnet ved begynnelsen av funksjonen reverserer alle tegnene.

Derfor, #f '' (x) # er:

Positiv, derfor konkav for:

#x i (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativ, derfor konveks for:

#x i (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #