For hvilke verdier av x er f (x) = (- 2x) / (x-1) konkav eller konveks?

Svar:

Undersøk tegnet på 2. derivatet.

Til #X <1 # funksjonen er konkav.

Til #X> 1 # funksjonen er konveks.

Forklaring:

Du må studere krumning ved å finne 2. derivat.

#f (x) = - 2 x / (x-1) #

Den første derivaten:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

2. derivat:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Nå tegnet av #f '' (x) # må studeres. Nevneren er positiv når:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (X-1) ^ 3 <0 #

# (X-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#X <1 #

Til #X <1 # funksjonen er konkav.

Til #X> 1 # funksjonen er konveks.

Merk: poenget # X = 1 # ble utelukket fordi funksjonen #f (x) # kan ikke defineres for # X = 1 #, siden denumiratoren ville bli 0.

Her er en graf slik at du kan se med øynene dine:

graf {(- 2x) / (x-1) -14.08, 17.95, -7.36, 8.66}