Hva er lokal ekstrem, om noen, av f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Svar:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # har et lokalt minimum for # X = 1 # og et lokalt maksimum for # X = 3 #

Forklaring:

Vi har:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funksjonen er definert i alle # RR # som # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Vi kan identifisere de kritiske punktene ved å finne hvor det første derivatet er null:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

så de kritiske punktene er:

# x_1 = 1 # og # x_2 = 3 #

Siden nevneren er alltid positiv, tegnet av #f '(x) # er motsatt av tegn på telleren # (X ^ 2-4 x + 3) #

Nå vet vi at et andreordet polynom med positiv ledende koeffisient er positiv utenfor intervallet mellom røttene og negativt i intervallet mellom røttene, slik at:

#f '(x) <0 # til #x i (-oo, 1) # og #x i (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # til #x i (1,3) #

Vi har da det #f (x) # er avtagende i # (- oo, 1) #, økende i #(1,3)#, og igjen avtar i # (3 + oo) #, så det # x_1 = 1 # må være et lokalt minimum og # X_2 = 3 # må være et lokalt maksimum.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}