Svar:
Tangentlinjen er parallell med # X # akse når bakken (dermed # Dy / dx #) er null og den er parallell med # Y # akse når bakken (igjen, # Dy / dx #) går til # Oo # eller # -Oo #
Forklaring:
Vi begynner med å finne # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Nå, # dy / dx = 0 # når nybegynneren er #0#, forutsatt at dette ikke også gjør nevneren #0#.
# 2x + y = 0 # når #y = -2x #
Vi har nå to likninger:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Løs (ved substitusjon)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Ved hjelp av #y = -2x #, vi får
Knappen til kurven er horisontal ved de to punktene:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # og # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Vær oppmerksom på at disse paret ikke også gjør nevnte av # Dy / dx # lik #0#)
For å finne punkter hvor tangenten er vertikal, gjør nevneren av # Dy / dx # lik tpo #0# (uten å også gjøre telleren #0#).
Vi kunne gå gjennom løsningen, men symmetrien til ligningen som vi vil få:
# X = -2y #, så
#y = + - sqrt21 / 3 #
og punktene på kurven der tangenten er vertikal er:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # og # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Forresten. Fordi vi har teknologien, her er grafen for denne roterte ellipsen: (Merk at # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # som du kan se på grafen.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Svar:
Ved hjelp av kun middelskole matematikk får jeg
Tangenter parallelt med x-aksen på:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) og (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangenter parallelt med y-aksen på:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) og (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Forklaring:
Jeg så på Jims svar, som ser ut som en fin standard kalkuleringsbehandling. Men jeg kunne ikke hjelpe, men føler meg trist for alle middelalderne der ute i sokratisk land som vil finne tangenter av algebraiske kurver, men er fortsatt år borte fra kalkulator.
Heldigvis kan de gjøre disse problemene ved å bruke bare Algebra I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Dette kan være litt komplisert for et første eksempel, men la oss gå med det. Vi skriver vår kurve som #f (x, y) = 0 # hvor
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
La oss ta # (R, s) # som et poeng på # F #. Vi vil undersøke # F # nær # (R, s) # så vi skriver
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# (r + (x-r)) 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Vi utvider, men vi utvider ikke forskjellsbetingelsene # x-r # og # Y-s #. Vi ønsker å holde dem intakt, slik at vi kan eksperimentere med å eliminere noe senere.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s ys) + (ys) ^ 2-7 #
# (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) ys) #
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 (x-r)
Vi sa # (R, s) # er på # F # så #f (r, s) = 0 #.
(y-s) + (x, y) = 2r + s) (x-r) + (2s + r)
Vi sorterte betingelsene etter grad, og vi kan eksperimentere med tilnærminger til # F # nær # (R, s) # ved å slippe høyere grader. Ideen er når # (X, y) # er nær # (R, s) # deretter # x-r # og # Y-s # er små, og deres firkanter og produkt er mindre fortsatt.
La oss bare generere noen tilnærminger til # F #. Siden # (R, s) # er på kurven, er den konstante tilnærmingen, og faller alle forskjellsterminene, den
# f_0 (x, y) = 0 #
Det er ikke spesielt spennende, men det forteller oss poeng i nærheten # (R, s) # vil gi en verdi nær null for # F #.
La oss bli mer interessante og holde de lineære vilkårene.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Når vi stiller dette til null, får vi den beste lineære tilnærmingen til # F # nær # (R, s), # hvilken er den tangent linje til # F # på # (R, s). # Nå kommer vi et sted.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Vi kan også vurdere andre tilnærminger:
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Disse er høyere ordens tangenter, de som college matematiske studenter nesten aldri kommer til. Vi har allerede gått utover college kalkulator.
Det er flere tilnærminger, men jeg blir advart om at dette blir lang. Nå som vi lærte å gjøre kalkulator ved å bruke bare Algebra I, la oss gjøre problemet.
Vi vil finne poengene der tangentlinjen er parallell med # X # akse og # Y # akser.
Vi fant vår tangent linje på # (R, s) # er
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Parallelt med # X # akse betyr en ligning #y = tekst {konstant} #. Så koeffisienten på # X # må være null:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # er på kurven så #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Siden # S = 2R # poengene er
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) og (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tilsvarende parallelt med y-aksen betyr # 2s + r = 0 # som bare bør bytte x og y på grunn av symmetrien av problemet. Så de andre poengene er
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) og (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Kryss av.
Hvordan sjekke? La oss gjøre en Alpha-plot.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 kvadrat {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Ser bra ut. Beregning på algebraiske kurver. Ganske bra for middelskolen.
