Hvordan finner du MacLaurins formel for f (x) = sinhx og bruker den til å approximere f (1/2) innen 0,01?

Svar:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Forklaring:

Vi vet definisjonen for #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ X-e ^ -x) / 2 #

Siden vi kjenner Maclaurin-serien for # E ^ x #, vi kan bruke den til å konstruere en for #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Vi finner serien for # E ^ -x # ved å erstatte # X # med # -X #:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Vi kan trekke disse to fra hverandre for å finne telleren til # Sinh # definisjon:

#COLOR (hvit) (-. e ^ -x) e ^ x = farge (hvit) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (hvit) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = farge (hvit) (lllllllll) 2xcolor (hvit) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!), Farge (hvit) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Vi kan se at alle de jevne vilkårene avbrytes og alle odde vilkårene dobler. Vi kan representere dette mønsteret slik:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

For å fullføre #sinh (x) # serier, vi trenger bare å dele dette med #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo avbryt2 / (avbryt2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nå vil vi beregne #f (1 / 2) # med en nøyaktighet av minst #0.01#. Vi vet at denne generelle formen for Lagrange-feilen er bundet til en nth grad taylor-polynom om # x = c #:

# | R n (x) | <= | M / (! (N + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # hvor # M # er en øvre grense på nth derivatet på intervallet fra # C # til # X #.

I vårt tilfelle er utvidelsen en Maclaurin-serie, så # C = 0 # og # x = 1 / 2 #:

# | R n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

De høyere ordningsderivatene av #sinh (x) # vil heller være #sinh (x) # eller #cosh (x) #. Hvis vi vurderer definisjonene for dem, ser vi det #cosh (x) # vil alltid være større enn #sinh (x) #, så vi burde trene # M #-på vei til #cosh (x) #

Den hyperbolske cosinusfunksjonen øker alltid, så den største verdien på intervallet vil være på #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Nå plugger vi dette inn i Lagrange-feilen som er bundet:

# | R n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

Vi vil # | R n (x) | # å være mindre enn #0.01#, så vi prøver litt # N # verdier til vi kommer til det punktet (jo mindre antall vilkår i polynomet, desto bedre). Vi finner det # N = 3 # er den første verdien som vil gi oss en feil som er bundet mindre enn #0.01#, så vi må bruke en 3-graders taylor-polynom.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #