Hvordan løse ikke xxcosxdx?

Svar:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Forklaring:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Vi vil bruke integrasjon av deler, som sier det #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Bruk integrasjon av deler, med # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, og # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Bruk integrasjon av deler igjen til det andre integralet, med # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, og # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Nå, husk vi definerte # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Dermed blir ovennevnte ligning følgende (husker å legge til en konstant integrering):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2E ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Bruke de Moivres identitet

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # vi har

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

men (1 + i) x) = (1-i) / 2e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx)

og endelig

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #