Hva er vertexformen av 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Svar:

# Y = -13/7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Forklaring:

Først får du ligningen i sin typiske form ved å dele begge sider av #7#.

# Y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Nå vil vi få dette til vertexform:

# Y = a (x-h) ^ 2 + k #

Først, faktor på #-13/7# fra de to første begrepene. Legg merke til at factoring a #-13/7# fra et begrep er det samme som å multiplisere begrepet av #-7/13#.

# Y = -13/7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Nå ønsker vi at begrepet i parentesene skal være et perfekt firkant. Perfekte firkanter kommer i mønsteret # (X + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #.

Her er midtperioden # 15 / 13x # er midtbegrepet til den perfekte firkantede trinomialen, # 2ax #. Hvis vi vil bestemme hva #en# er, dele # 15 / 13x # av # 2x # å se det # A = 15/26 #.

Dette betyr at vi vil legge til det manglende begrepet i parentes for å gjøre gruppen lik # (X + 15/26) ^ 2 #.

# Y = -13 / 7overbrace ((x ^ 2 + 15 / 13x +?)) ^ ((X + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

Den manglende termen på slutten av den perfekte kvadratiske trinomial er # A ^ 2 #, og det vet vi # A = 15/26 #, så # A ^ 2 = 225/676 #.

Nå legger vi til #225/676# til betingelsene i parentesene. Imidlertid kan vi ikke legge til tall til ligningene willy-nilly. Vi må balansere det vi nettopp har lagt til på samme side av ligningen. (For eksempel, hvis vi hadde lagt til #2#, vi må legge til #-2# til samme side av ligningen for en netto endring av #0#).

# Y = farge (blå) (- 13/7)? (X ^ 2 + 15 / 13x + farge (blå) (225/676)) + 2/7 + farge (blå) #

Legg merke til at vi ikke har lagt til #225/676#. Siden det er inne i parentesene, blir termen på utsiden multiplisert i. Dermed #225/676# faktisk har en verdi av

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Siden vi faktisk har lagt til #-225/364#, vi må legge til en positiv #225/364# til den samme siden.

# Y = -13/7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Noter det #2/7=104/364#, så

#COLOR (rød) (y = -13/7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Dette er i vertex form, hvor parabolens toppunkt ligger på # (H, k) -> (- 15/26 329/364) #.

Vi kan sjekke arbeidet vårt ved å tegne parabolen:

graf {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4,93, 4,934, -2,466, 2,466}

Noter det #-15/26=-0.577# og #329/364=0.904#, som er verdiene som er oppnådd ved å klikke på toppunktet.