Bruk Rational Zeros Theorem til å finne mulige nuller av følgende polynomiale funksjon: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Svar:

Den mulige rasjonell nuller er:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Forklaring:

gitt:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Ved den rasjonelle nullosetningen, noen rasjonelle nuller av #f (x) # er uttrykkbare i skjemaet # P / q # for heltall #p, q # med # P # en divisor av den konstante sikt #-35# og # Q # en divisor av koeffisienten #33# av ledende begrepet.

Divisors of #-35# er:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Divisors of #33# er:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Så de mulige rasjonelle nuller er:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

eller i økende rekkefølge av størrelse:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Merk at disse bare er rasjonelle muligheter. Den rasjonelle nullosetningen forteller oss ikke om mulige irrasjonelle eller komplekse nuller.

Ved å bruke Descartes 'Signs-tegn, kan vi bestemme at denne kubikken ikke har noen negative nuller og #1# eller #3# positive reelle nuller.

Så de eneste mulige rasjonelle nuller er:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Prøver hver igjen, finner vi:

#f (1/11) = 33 (farge (blå) (1/11)) ^ 3-245 (farge (blå) (1/11)) ^ 2 + 407 (farge (blå) (1/11)) -35 #

#color (hvit) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (hvit) (f (1/11)) = 0 #

Så # X = 1/11 # er en null og # 11x-1 # en faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

For å faktorere den resterende kvadratiske kan vi bruke en AC-metode:

Finn et par faktorer av #AC = 3 * 35 = 105 # med summen # B = 22 #

Paret #15, 7# virker.

Bruk dette paret til å dele mellombegrepet og deretter faktor ved å gruppere:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (hvit) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (hvit) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Så de andre to nullene er:

# x = 7/3 "" # og # "" x = 5 #